Reglas de cálculo: cuando el mundo era analógico (I)

Antes de la aparición de las calculadoras electrónicas, las calculadoras mecánicas o mecánico-eléctricas eran dispositivos pesados grades y caros que se usaban en ámbitos profesionales. Las reglas de cálculo eran el equivalente actual de las calculadoras de bolsillo. Hoy en día estamos acostumbrados a realizar exámenes, ejercicios y todo tipo de cálculos muy complejos en cuestión de segundos con una calculadora electrónica. Pero hace más de medio siglo no sólo era vital saber cómo resolver problemas, si no también saber calcularlos y era habitual incluso examinar sobre el uso de reglas de cálculo.


Introducción

Las reglas de cálculo son instrumentos analógicos que establecen de forma mecánica una equivalencia entre escalas que permite realizar multiplicaciones, divisiones, exponenciales, logaritmos, cuadrados, cubos, evaluar funciones trigonométricas… Las reglas de cálculo incluso se creaban con escalas dedicadas a las aplicaciones de un campo científico en concreto.

Fotograma de la película "El viento se levanta" de Studio Ghibli sobre la vida de Jiro Horikoshi ingeniero aeronáutico responsable del diseño del caza japonés Zero. En la ausencia de calculadoras electrónicas recurre a una regla de cálculo para realizar sus diseños. © Studio Ghibli - Fair Use
Fotograma de la película «El viento se levanta» de Studio Ghibli sobre la vida de Jiro Horikoshi ingeniero aeronáutico responsable del diseño del caza japonés Zero. En la ausencia de calculadoras electrónicas recurre a una regla de cálculo para realizar sus diseños. © Studio Ghibli – Fair Use

La longitud de la regla nos da la precisión de los números. Es habitual que se fabricaran en dos medidas estándar:

  • 10 pulgadas (unos 25 cm), permitiendo introducir escalas con división de hasta partes de una centésima, dando precisión de tres cifras significativas.
  • 20 pulgadas (unos 50 cm) para tener alta precisión con más subdivisiones.

El origen de las reglas de cálculo se puede remontar hasta los astrolabios. En alguno de ellos se encontraban cuadrantes que usan la alidada (la mirilla del astrolabio) como regla de posición para calcular valores de funciones trigonométricas útiles en el cálculo de efemérides y posiciones astronómicas.

En 1614 John Napier describe el concepto de logaritmo lo que permitirá que se puedan construir reglas de cálculo sobre la base de escalas logarítmicas permitiendo que sea muy sencillo hacer operaciones complejas. Durante los siguientes siglos y a medida que se desarrollaron más matemáticas las reglas de cálculo mejoraron y añadieron escalas y funciones.

Se puede decir que la revolución industrial se pudo dar a nivel científico y técnico gracias a la capacidad de cálculo, ya que las aplicaciones y la necesidad de cálculos eran cada vez más complejos y precisos. Con la aparición de industrias y la ingeniería moderna se crearon estándares para su fabricación.

Con la aparición de la electrónica, que no requiere apenas aprendizaje para utilizar una calculadora, y una rapidez imbatible, el uso de las reglas de cálculo ha quedado relegado a curiosidades matemáticas y nostálgicos. ¡Siguen siendo un instrumento muy útil para enseñar matemáticas!

Ejemplo moderno de un cuadrante como los que se encontraban en los astrolabios. Usando la alidada del astrolabio se puede situar en un valor del ángulo en la parte externa y las curvas del interior intersecan con la alidada y este punto es el valor de las funciones trigonométricas.
© de astrolabeproject.com
Ejemplo moderno de un cuadrante como los que se encontraban en los astrolabios. Usando la alidada del astrolabio se puede situar en un valor del ángulo en la parte externa y las curvas del interior intersecan con la alidada y este punto es el valor de las funciones trigonométricas.
© de astrolabeproject.com

Cómo son las reglas de cálculo

Las reglas de cálculo se componen de una serie de escalas dispuestas en varias reglas que pueden ser móviles (en paralelo) o estar unidas. Sobre estas reglas hay un mecanismo —usualmente deslizante— que tiene una marca o hilo que nos sirve para leer la posición sobre una escala o en los puntos que se encuentran alineados en las demás. Hay diseños más extravagantes como discos deslizantes concéntricos o cilindros. Las escalas acabaron estandarizadas y el más usual es el sistema Rietz propuesto por Max Rietz en 1902 y que denomina con letras una serie de escalas

  • A: escala de cuadrados nos da los números de hacer x^2 con los de la escala principal y que es fija (normalmente en la parte inferior de la regla superior)
  • B: escala de cuadrados, pero en la parte superior de la móvil central (queda debajo de la A)
  • C y CI: escala básica y escala básica invertida x\text{ y }1/x para calcular cuando se toma la función inversa. Estas van en la parte inferior de la parte móvil. La escala CI viene anotada como si fuera la parte decimal, es decir, delante de sus valores hay que colocar un 0 y punto decimal.
  • D: escala básica situada en la parte fija inferior, en su parte superior (para coincidir con la C encima)
  • K: escala de cubos dada por x^3
  • S: escala con los valores de la función \text{sen}(x)
  • ST: escala con los valores de la función \text{sen}(x) y \text{tan}(x) para ángulos pequeños
  • T: escala con los valores de la función \text{tan}(x)
  • L: escala dada por los logaritmos decimales \text{log}_{10}(x)
  • Ln: escala dada por los logaritmos decimales \text{ln}(x)
  • LLn: escala dada por un doble logaritmo lo que permite fijar una base y un exponente para calcular cualquier n^x
Parte izquierda de una regla de cálculo British Thornton AD 150. A la derecha está el hilo deslizable. A la izquierda tenemos las distintas escalas en su letra identificativa del sistema Rietz.
Parte izquierda de una regla de cálculo British Thornton AD 150. A la derecha está el hilo deslizable. A la izquierda tenemos las distintas escalas en su letra identificativa del sistema Rietz.
En la parte derecha de la regla de cálculo tenemos la traducción matemática de cada una de las escalas.
En la parte derecha de la regla de cálculo tenemos la traducción matemática de cada una de las escalas.

Nótese como el hilo está en x=3 y se corresponde con la lectura 9 en las escalas x^2 (A o B), 27 en la x^3 (K) (está indicada como 2.7 hay un factor x10 a añadir que ya se comentará) y los valores correspondientes de las funciones exponenciales y trigonométricas. En la escala inversa (CI) se encuentra en la posición 1/3 aproximadamente (0.33)

¿Por qué exponenciales y logaritmos?

Las escalas fijas lo que hacen es asignar a la variable x representada en la escala un valor f(x) con el uso del hilo (en paralelo). Las marcas en estas escalas están creadas de tal forma que hacen corresponder físicamente cada escala (y que puedan colocarse en paralelo).

Por ejemplo para x=7 en la escala C, la escala B corresponde a 49 y la escala K el valor 343 (dada la precisión de la regla cae entre la marca de 340 y 350). Nótese que sólo aparece 100 y para ahorrar espacio a partir de 100 esa escala usa simplemente la cifra de las centenas.

Parte móvil de la regla de cálculo con el hilo en la escala C con X=7 (inferior), B con el cuadrado en 47 (superior) y la escala K con el cubo entre las marcas de 340 y 350. La escala con números rojos es la escala de la inversa 1/X y sus números van precedidos de un 0., en este caso corresponde a 1/7 entre 0.142 y 0.143 (se redondea a 0.14286 el valor real).
Parte móvil de la regla de cálculo con el hilo en la escala C con X=7 (inferior), B con el cuadrado en 47 (superior) y la escala K con el cubo entre las marcas de 340 y 350. La escala con números rojos es la escala de la inversa 1/X y sus números van precedidos de un 0., en este caso corresponde a 1/7 entre 0.142 y 0.143 (se redondea a 0.14286 el valor real).

Con las escalas móviles se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Por eso las escalas C y A (x y cuadrados) se encuentran presente tanto en la móvil como en la parte fija, para poder operar con valores de 1 a 100 o que se encuentren un orden de magnitud de 100 entre ellos. Es necesario el uso de dos escalas de forma simultánea para operaciones que requieren dos números a operar entre sí.

Suma y resta

La suma y la resta son operaciones sencillas que pueden realizarse con una regla cualquiera. La fundamentación lógica es trivial: sumamos números sumando segmentos/longitud. En las reglas de cálculo el objetivo es poder operar con grandes números o números muy diferentes entre sí, ya que si simplemente sumáramos longitudes, necesitamos reglas muy largas. Esto se puede evitar en el resto de operaciones a través de las escalas logarítmicas.

Suma

Para sumar colocamos el hilo en el valor de uno de los sumandos en una de las escalas y sobre el hilo se coloca el cero de la escala superior. Sobre la escala superior se toma el segundo sumando y se mueve el hilo a este valor, de tal forma que en la primera escala tenemos el valor de la suma.

Suma de los valores 2 y 3 medante superposición re reglas.
Suma mediante reglas

En la escala inferior (fija) buscamos el valor 2, sobre este valor movemos la escala superior (móvil) y colocamos el cero. Sobre la escala superior ahora contamos 3 y movemos el hilo a este valor. En la escala fija inferior sobre el valor 3 tenemos el valor 5 indicando la suma de los segmentos 0 a 2 de la inferior y 0 a 3 de la superior.

Resta

Para realizar la resta colocamos el número más grande de la resta en la escala fija y colocamos ahí el hilo. A continuación colocamos en la escala móvil el valor más pequeño coincidiendo sobre el hilo. Nos movemos hacia el cero en la escala superior —esto es restar la longitud— que coincidirá en una marca en la escala inferior, que es el resultado de la resta.

Resta 5-4, mediante la combinación de segmentos en direcciones en opuestas.
Resta mediante reglas

Supongamos que queremos hacer 5-4 para ello vamos sobre la escala inferior al valor 5 y le hacemos coincidir encima el valor 4. Sobre esta escala móvil vamos hasta el cero y leemos el resultado de la resta en la escala inferior.

Breve historia de los logaritmos

Como he mencionado, este proceso es complicado cuando tenemos números muy distintos entre sí. Podría usar la misma escala para sumar números en el mismo orden de magnitud… pero es muy difícil poder hacer una suma como 1000 + 1. O se asume que los números de una de las escalas son en un factor x1000, haciendo imposible tomar en la regla un valor de una diezmilésima. O bien tomamos trabajar en un orden de magnitud x1 necesitando una regla que llegara al menos a 1000 unidades (de longitud exagerada).

Si para sumar y restar necesitamos reglas desproporcionadamente largas en el caso de la multiplicación o división que podrían realizarse como repeticiones de sumas, necesitaríamos reglas kilométricas. En torno a 1600 John Napier y los matemáticos de la época tenían problemas a la hora de calcular funciones trigonométricas. Estas funciones son fundamentales para asuntos como la navegación o la astronomía de posición y la topología. Dado que habitualmente se efectuaban productos de funciones trigonométricas, se preguntó si no habría una forma de poder descomponer ese producto en una suma de factores, dada la mayor sencillez de hacer sumas.

El logaritmo natural

Napier precisamente llama a este objeto aritmético logaritmo de logos y arithmos significando «razón aritmética» al expresar la razón entre dos números y justificaba su uso basándose en la aparición de esta operación aritmética de forma natural. En el estudio de la cinemática de cuerpos se llegaba a una ecuación del tipo \int_1^x \frac{dx}{x} cuya solución es precisamente una función logaritmo cuyo valor inicial es ln(1)=0. Esta función logaritmo tiene la propiedad de tener un valor e que satisface \int_1^e \frac{dx}{x}=1 y que es conocido posteriormente como el número de Euler . Es un número irracional fundamental en las matemáticas —como π— y cuyo valor es e=2.71828182....

Ésta era la forma natural de los logaritmos, pero al realizar la integral siempre se suma una constante C de tal forma que podemos fijar ese valor de \int_1^N \frac{dx}{x}=1 en e como puede ser en 10 o cualquier otro número natural. La utilidad de la base 10 es que nuestro sistema de numeración trabaja en múltiplos de 10 por lo que es muy útil para hacer estos cálculos.

Imagen de la película Apolo 13 en la que desde el control en Tierra replican cálculos con una regla de cálculo hechos por emergencia a mano en órbita, © Universal Pictures - Fair Use.
Imagen de la película Apolo 13 en la que desde el control en Tierra replican cálculos con una regla de cálculo hechos por emergencia a mano en órbita, © Universal Pictures – Fair Use.

Tablas de logaritmos

En 1631 siguiendo el trabajo de Napier el matemático Henry Briggs publica el primer libro que contiene una tabla de valores de logaritmos en base 10.

«Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría… Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad… En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía.»

Logartihmall Arithmetike , Henry Briggs – Tomado de Historia de los logaritmos

A los libros y tablas de valores de logaritmos le siguen tablas de antilogaritmos ya que si pasamos a trabajar con valores de logaritmos necesitamos realizar la función inversa para obtener el resultado que buscamos. A los antilogaritmos posteriormente los conocemos como funciones exponenciales, siendo la más conocida la que tiene como base natural el número e: e^x. De esta forma la relación entre logaritmos y exponenciales es la siguiente \text{log}_n(x)=a \leftrightarrow n^a=x.

De multiplicaciones a sumas en las reglas de cálculo

Tanto los logaritmos como las exponenciales tienen una propiedad muy útil: transforman productos y divisiones en sumas y restas. De ahí el interés en crear tablas de logaritmos para realizar estas operaciones como suma de valores de esas tablas y con un valor final a ir a las tablas de antilogaritmos para hallar nuestra solución.

Fundamento matemático

Esta propiedad se observa fácilmente de la definición a través de una expresión integral

Si \displaystyle \text{ln}(a)=\int_1^a \frac{dx}{x} entonces \displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\int_1^{a\cdot b}\frac{dx}{x}=\int_1^a \frac{dx}{x}+\int_a^{a\cdot b} \frac{dx}{x}

Si en la segunda integral hacemos un cambio de variable dividiendo de a, x'=x/a entonces

\displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\int_1^{a\cdot b}\frac{dx}{x}=\int_1^a \frac{dx}{x}+\int_1^b \frac{dx'}{x'}

Dado que el segundo término no ha variado respecto al cambio de variable, tanto el primero como segundo siguen siendo la definición de logaritmo y finalmente \displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b).

De la misma forma al realizar esta demostración para el caso \text{ln}(a/b) el proceso idéntico nos obliga a cambiar el límite inferior por el superior en la segunda integral, ya que a/b es más pequeño. Por tanto, cambiando de signo este sumando para finalmente hallar
\displaystyle \text{ln}(a/b)=\text{ln}(a)-\text{ln}(b). Q.E.D

Escalas logarítmicas

Por lo tanto, tomando logaritmos se puede descomponer multiplicaciones en sumas y, si sé hacer sumas con reglas, podré realizar el proceso inverso para hallar el resultado. Finalmente, la solución más sencilla fue que las reglas en lugar de tener una escala lineal habitual —marcas equidistantes donde la distancia entre ellas es la unidad— representaran el valor del logaritmo de esos números. Ahora no tenemos que la distancia entre dos marcas representa el valor entre unidades sucesivas, si no una diferencia de un factor x10. Esto se conoce como escala logarítmica.

Comparación entre una escala lineal (arriba) y una logarítmica (abajo). Entre las dos escalas se puede calcular directamente logaritmos y exponenciales.
Comparación entre una escala lineal (arriba) y una logarítmica (abajo).

Mientras la escala lineal va de 0 a 2 la logarítmica va de 10^0 (1) a 10^2 (100). Tenemos muchos más números en la regla y ahora al sumar segmentos en escala logarítmica estaremos multiplicando, ya que \text{log}(A\cdot B)=\text{log}(A)+\text{log}(B)

Esta propiedad de los logaritmos también se puede expresar mediante exponenciales, ya que e^{x\cdot y}=e^x+e^y y e^{x-y}=e^x/e^y. Por lo tanto, al operar en escala logarítmica estamos haciendo la operación de la suma, pero de los exponentes y leyendo en la escala logarítmica el valor de la exponencial.

Esta es la primera parte de la serie de entradas sobre reglas de cálculo y su forma de uso. Continúa en la siguiente entrada.

Reglas de cálculo (II)→

Publicado por Rafael

Graduado en Física y docente en Educación Secundaria. En el Máster en Formación del Profesorado comenzó en la investigación en la Didáctica de las Ciencias Experimentales. Cuenta con comunicaciones y artículos publicados sobre su trabajo predoctoral. Ha colaborado en diversas iniciativas de divulgación científica y astronomía aficionada.

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