Experimento mental: el péndulo infinito.

Uno de los más sistemas más sencillos y que antes se estudian cuando se estudia la mecánica (a nivel newtoniano y posteriormente es el ejemplo clásico para introducir la mecánica lagrangiana) es el péndulo simple. Una masa m colgada de un hilo de masa despreciable unido a un punto de sujeción sin rozamiento se separa de la vertical un ángulo pequeño comenzando a oscilar. ¿Qué ocurre si el péndulo fuera muy grande o incluso infinito?

[Nivel aproximado: primer curso universitario]


El péndulo simple clásico

En un péndulo la fuerza que origina el movimiento es la fuerza de la gravedad para un cuerpo de masa m la fuerza es F=m\cdot g donde g es el valor de la aceleración de la gravedad (9.8\text{ m/s}^2 en la superficie de la Tierra). Cuando el péndulo está desplazado un ángulo \theta la aceleración tangencial es m a_{T}=m g \text{ sen}(\theta).

Esquema de un péndulo simple

Dado que el péndulo realiza un movimiento circular para estos ángulos pequeños se cumple la aceleración se expresa de forma angular como que a_{\theta}=a l (l es la longitud del péndulo) y la definición de aceleración es a_{\theta}=\displaystyle \frac{dv_{\theta}}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}. Tomando en cuenta la expresión de la aceleración, su definición y la relación entre la aceleración y aceleración tangencial

\displaystyle ma_{T}=mg\text{ sen}(\theta)

\displaystyle m(a_\theta l)=mg\text{ sen}(\theta)

\displaystyle a_\theta=\frac{g}{l}\text{ sen}(\theta)

\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{g}{l}\text{ sen}(\theta)

Si el ángulo es pequeño entonces \text{ sen}(\theta)=\theta y

\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{g}{l}\theta

Esta es una ecuación diferencial muy sencilla (ecuación de Helmholtz) tipo \displaystyle \frac{d^2}{dt}x+\omega^2x=0 cuya solución unidimensional es una función seno. Por lo que para el péndulo \displaystyle \theta=\theta_0\text{sen}(\omega t+\phi) donde \theta_0 es el ángulo incial al que colocamos el péndulo y \omega proviene del factor que tenemos en la ecuación \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} y corresponde a la frecuencia angular del péndulo. Esta se relaciona con la frecuencia temporal ya que \displaystyle P=\frac{2\pi}{\omega} y por tanto el periodo de un péndulo es

\displaystyle P=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Imagen del Panteón de París donde se encuentra un Péndulo de Focault, que oscila mientras la Tierra rota, indicando las horas en una banda o mostrando la rotación terrestre.
Péndulo de Focault en el Panteón de París. El péndulo mide decenas de metros y es capaz de oscilar durante mucho tiempo pudiendo demostrar la rotación terrestre al permanecer su plano de oscilación constante mientras la tierra rota.

El péndulo de tamaño grande

El desarrollo clásico del péndulo implica que la gravedad es la misma (tanto en módulo como dirección), ya que la variación de la misma frente al desplazamiento del péndulo es prácticamente nula. Es decir, que la longitud de nuestro péndulo es muy pequeña comparado con la variación de la gravedad que depende del radio de la Tierra (u otro cuerpo origen del campo gravitatorio) con radio R: l\lll R.

¿Qué ocurriría si tuviéramos un péndulo cuyo tamaño fuera del mismo orden de magnitud que el tamaño de la Tierra?

Supongamos que tenemos un péndulo de tamaño planetario. En este caso el vector de la fuerza de la gravedad g no siempre estará dirigido «hacia abajo», manteniendo el mismo ángulo de desviación que tiene el péndulo. En este caso que se encuentra en función al ángulo \phi hacia el centro de masas, ya que g sigue la dirección hacia el centro de masas, la vertical y esta dirección viene dada por el ángulo \phi de desviación respecto a la vertical de la posición en reposo del péndulo.

Esquema de fuerzas y diagrama del problema del péndulo grande.
Esquema de un péndulo MUY grande

Si se calcula el momento angular del péndulo este será \vec{L}=\vec{l}\times\vec{F} donde \vec{F}=m\vec{g}. Tomando el módulo de estos vectores se tiene que |L|=|l|\cdot|F|\cdot\text{sen}(\theta+\phi)=mgl\cdot\text{sen}(\theta+\phi). Por otro lado, en general el momento de inercia de una única masa m puntual respecto a un eje es I=ml^2 (en general I=\sum{m_ir_i^2} y r=l,i=1). La versión equivalente de la segunda ley de newton en rotación, relaciona el par de fuerzas generado con el momento de inercia \tau=I\cdot a_{\theta}=ml^2a_{\theta}.

Tomando e igualando ambas expresiones equivalentes para el momento de inercia/momento angular que representan lo mismo, se tiene

\displaystyle mgl\cdot\text{sen}(\theta+\phi) = ml^2a_{\theta}

De donde se puede despejar

\displaystyle a_\theta = \frac{g}{l}\cdot\text{sen}(\theta+\phi) \equiv a_\theta = \frac{g}{l}(\theta+\phi)

si los ángulos son pequeños, ya que \text{sen}(x)=x.

Triángulos formados por el péndulo infinito para realizar aproximación de ángulos pequeños.
Esquema exagerado de los triángulos dibujados para realizar aproximación de ángulos pequeños.

Podemos reescribir los ángulos en función de los radios y longitudes. Ambos triángulos comparten un cateto (x) ue corresponde a la desviación lateral de la vertical en reposo del péndulo. En la aproximación de ángulos pequeños tenemos \text{tan}(x)=x y como \text{tan}(\theta)=\frac{x}{l}\equiv \theta y \text{tan}(\phi)=\frac{x}{R}\equiv\phi.

Reescribiendo (\theta+\phi) como \theta\left(1+\frac{\phi}{\theta}\right) y sustituyendo dentro del paréntesis se llega a que es equivalente a \theta\left(1+\frac{x/R}{x/l}\right)=\theta\left(1+\frac{l}{R}\right) por lo que finalmente

\displaystyle a_\theta=\frac{g}{l}\theta\left(1+\frac{l}{R}\right)

Como la aceleración angular es a_\theta=\omega^2 \theta igualando

\displaystyle \frac{g}{l}\left(1+\frac{l}{R}\right)=\omega^2

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{l}\left(1+\frac{l}{R}\right)}=\sqrt{g \left(\frac{1}{l}+\frac{1}{R}\right)}

Como el periodo es T=\frac{2\pi}{\omega}

\displaystyle T=\frac{2\pi}{\sqrt{g(1/l+1/R)}}

Recuperando el péndulo simple

Para el caso general que todos conocemos se cumple que l\lll R entonces \frac{1}{l}\ggg \frac{1}{R} y \frac{1}{l}+\frac{1}{R}=\frac{1}{l} siendo entonces el periodo es T=\frac{2\pi}{\sqrt{g/l}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} idénticamente a como ya se había hallado para el péndulo simple.

El péndulo «infinito»

Supongamos que l es tan grande que l\ggg R entonces \frac{1}{l}+\frac{1}{R}=\frac{1}{R} por lo que el periodo entonces es T=\frac{2\pi}{\sqrt{g/R}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.

Dado que g depende de la masa y radio del que genera el campo gravitatorio, tenemos que un péndulo infinito tiene un periodo finito y determinado exclusivamente por el objeto que crea atracción gravitatoria sobre él. En el caso de la Tierra tomando el radio medio y la gravedad en la superficie se tiene que

\displaystyle T_{infinito}=5067\text{ s}=84.45\text{ m}=1\text{ h }24\text{ m }27.17\text{ s}

Casualmente, este mismo tiempo es el que resultaría de calcular el periodo de una órbita si algo pudiera orbitar a una distancia exacta del radio terrestre, por lo que en cierta forma, nuestro péndulo infinito es equivalente a orbitar la superficie terrestre.

En la misma línea, este tiempo es equivalente al tiempo que tarda en atravesar la Tierra un objeto que cayera por un túnel que atraviesa la Tierra y volver, es decir, un movimiento oscilatorio armónico equivalente a un muelle de tamaño planetario.

La convergencia del péndulo infinito con el caso de la órbita de radio igual al de la superficie o de la oscilación en un pozo de tamaño planetario es consecuencia de la generalización de las fuerzas gravitatorias a sistemas de tamaño comparable o mayor al del cuerpo que la origina.

Más información / Bibliografía

Publicado por Rafael

Graduado en Física y docente en Educación Secundaria. En el Máster en Formación del Profesorado comenzó en la investigación en la Didáctica de las Ciencias Experimentales. Cuenta con comunicaciones y artículos publicados sobre su trabajo predoctoral. Ha colaborado en diversas iniciativas de divulgación científica y astronomía aficionada.

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