Fourier, Photoshop, CSI y un montón de integrales.

¿Qué tienen en común Grissom de la serie CSI y Fourier, un matemático francés que vivió en torno a 1800? En principio nada salvo porque Fourier abrió un camino en las matemáticas que aunque no conozcas, funciona en tu oído, en Photoshop, en circuitos eléctricos, en la música…


Biografía de Fourier

Retrato de Fourier
Retrato de Fourier

Fourier, Jean-Baptiste Joseph, Fourier para los amigos. Series y transformada de Fourier para pesadillas de estudiantes universitarios. Fourier vivió de joven en la convulsa Francia de la Revolución, donde estuvo hasta cerca de ser guillotinado si no llega a ser por Robespierre.

Su padre, sastre de profesión, murió teniendo Fourier apenas 8 años. Gracias al Obispo de Auxerre, su ciudad natal, pudo entrar en la escuela Benedictina. Tras salir de esta escuela participó en la revolución y consiguió una cátedra de matemático en el ejército. Más tarde llegaría a la Escuela Politécnica, donde estaban Lagrange y Laplace de profesores (nada más y nada menos).

Pero Fourier era un culo inquieto y decidió irse a Egipto con Napoleón, consiguiendo entre otros cargos, ser secretario del Instituto de Egipto. Aun así no todo dura para siempre y cuando los ingleses echaron a Napoleón —para poder saquear ellos un poquito Egipto también— se volvió a Francia. Napoleón le dió otro cargo, en Grenoble, y su puesto en la Escuela Politécnica fue cubierto por otro desconocido. Seguramente este desconocido no suene nada de nada a la mayoría de estudiantes: Poisson. Sí, el mismo de la ecuación de Poisson o la distribución de Poisson.

A partir de aquí Laplace viajaría entre Francia e Inglaterra y fue admitido en sociedades científicas, fue secretario de la Academia de Ciencias Francesa.  Por estos tiempos (1822) Fourier consiguió resolver y formular una de esos problemas que se les atascaba a los físicos de aquel momento y que solían proponer en forma de concurso:  la transmisión del calor. Con la Ecuación del Calor modeló los flujos de temperatura (algo así como la ecuación de los fluidos). En el libro «Théorie analytique de la chaleur» hizo un poco como Newton, y viendo que las matemáticas no daban de sí, desarrolló las matemáticas necesarias para poder resolver el problema

Como curiosidad, también desarrolló allí el análisis dimensional. El análisis dimensional es eso tan importante que te cuentan en la ESO de usar las mismas unidades. Así puedes comprobar que se cancelan o añaden y que el resultado corresponde a lo esperado. A veces pones mal las unidades y explota un cohete y entonces eso que te parecía tan aburrido pasa a ser fundamental.

Las series de Fourier

Fourier explicó que para una función periódica, continua e integrable existe una serie —una suma de términos— formada por la función seno, coseno y sus múltiplos (sin(2x),sin(3x)…). Es decir, funciones seno/coseno que tienen distintas frecuencias o representan distintos periodos. Cuanto más términos añadamos a la serie, más se irá aproximando a la función original. Cada seno/coseno tiene delante un coeficiente que nos indica cuánto contribuye a crear la forma de esa función.

Forma general de las series de Fourier
Pesos o constantes de los distintos términos de las series de Fourier. A mayor peso más contribuye a la función total una determinada frecuencia.

Aparentemente, es una tontería, aproximar una función. Pero la verdad que este desarrollo teórico tanto en forma de serie —como en forma integral con la Transformada de Fourier— se ha convertido en una de las aplicaciones más importantes de las matemáticas. Con las series se pueden estudiar cualquier problema con una condición periódica, resolver ecuaciones, calcular la interacción de partículas a nivel cuántico…

Música y Fourier

Nuestro oído interpreta lo que llamamos sonido a través de las señales neuronales que recogen la intensidad sonora en cada frecuencia. El oído interno, a lo largo del caracol, tiene dispuestas una serie de neuronas sensibles a la vibración. La propia forma del caracol, estrechándose, va eliminando frecuencias. De esta manera la fisiología del oído realiza una descomposición del sonido en función de sus frecuencias, como una serie de Fourier.

Las neuronas sensibles a ciertas frecuencias son equivalentes a los diferentes componentes de la serie y cuánto contribuyen (intensidad de la señal neuronal). Nuestro cerebro es capaz de recibir el sonido como una serie de contribuciones y sumarlas.

grey and black transistor radio
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Es importantísimo en la música el estudio de la formación del sonido en instrumentos, ya que cuando se toca una nota no se genera una nota en una única frecuencia. Esto pasapor ejemplo en un altavoz piezoeléctrico, como los que llevaban los ordenadores hace unas décadas y que daban un caracteristico sonido de pitidos poco naturales. No nos suenan naturales, puesto que son sonidos de una única frecuencia. Los instrumentos y otras formas de generar sonido en realidad generan una frecuencia fundamental y muchas ondas de múltiplos de la misma llamados armónicos. En términos de una serie de Fourier, el término con mayor coeficiente es el fundamental y el resto, armónicos.

Imágenes y Fourier

Otra de las herramientas es la Transformada de Fourier. Digamos así a lo bruto que lo que hace es coger una función f(x) y nos descompone la función en una función nueva. Esta función transformada no indica el valor de lo que indicara la función original, nos indica cuando vale o importa correspondiente de la serie de Fourier de esa misma frecuencia.

Vale muy bonito, pero no entiendo nada. Ejemplo, mete en la Transformada de Fourier el sonido de un diapasón y te dará unos términos de las series cuya frecuencia se corresponde a la frecuencia en la que suena y sus armónicos (múltiplos). La transformada será una función definida a puntos siendo el más alto o importante el correspondiente a la frecuencia del diapasón y menores un punto en la frecuencia de cada armónico.

El potencial de la transformada es tan amplio que se encuentra en multitud de procesos de tratamiento de información incluso en el tratamiento de imágenes ya que es capaz de darnos información de todo patrón periódico de cualquier dato. Los elementos periódicos se describen aproximadamente mediante series de Fourier, por lo que aparecen.

Expresión de la Transformada de Fourier

Como me picó la curiosidad el tema de la transformada de Fourier y el filtrado de imágenes me he dedicado a hacer la transformada de Fourier con un plugin para Photoshop creado por A.V.Chirokov (web). Este plugin implementa un algoritmo llamado transformada rápida de Fourier que realiza el cálculo de arriba mediante métodos numéricos de computación.

Este plugin parte de una imagen de 8 bits (2 para cada color y 2 para transparencia) en RGB (Rojo-Verde-Azul por sus siglas en inglés). Al ejecutarlo nos da de salida en RGB dos patrones, en el canal R la distribución de frecuencias, en ejes x e y. En esta distribución bidimensional los puntos con mayor iluminación (blancos) indican que existe información con cierta frecuencia. Tendrá frecuencia mayor cuanto más esté alejada del centro de la imagen (centro, con valor 0) y en la dirección en la que se encuentra el punto. La capa G nos da el patrón de fases y el canal B no se usa.

Fourier en Photoshop

Primero creé un patrón de ruido aleatorio con Photoshop: Filtro<Añadir ruido: 400%, Gaussiano, Monocromático. Si realmente es aleatorio, no tendrá ningún patrón reconocible y la transformada de Fourier será un punto, como puede comprobarse.

Ruido aleatorio (izq.) y su transformada de Fourier (der.). No hay nada periódico.

Ahora vamos a coger ese ruido y a aplicarle el filtro de mediana. Este filtro toma un píxel y le asigna el valor de la mediana de los píxeles adyacentes. En este caso es esperable que la imagen tenga muchos píxeles en ese valor de la mediana, ya que son o blancos o negros. Veamos el resultado del filtro de mediana con varios valores del radio (de la cantidad de píxeles adyacentes que toma).

Transformada de Fourier (der.) de ruido aleatorio suavizado con un filtro de mediana (izq.). La transformada de Fourier se asemeja a un patrón de difracción. De hecho se puede relacionar el tamaño del patrón con el radio del filtro.

Probamos ahora con el filtro de paso alto. Este filtro elimina los detalles de la imagen que no son generales, como bordes y/o patrones, luego es esperable que tanga algo que ver con la FFT.

Transformada de Fourier (izq.) de ruido aleatorio tratado con un filtro de paso alto (der.). El oscurecimiento en el centro nos indica que el filtro elimina la información que no tiene cierta frecuencia.

La utilidad de estos algoritmos permite eliminar o realzar patrones existentes pero no apreciables, tanto en imágenes, sonido etc.

Más información

Aquí hay un interesante ejemplo de como con la FFT se puede eliminar el resto de la textura de papel fotográfico antiguo en una foto escaneada. En la web del desarrollador del plugin encontramos también un ejemplo con una huella escaneada. Recomendable web sobre «Forensic Science Resources» con otros plugins tan interesantes como la deconvolución y otros temas que se aplican a al estudio forense de imágenes. Que se lo pregunten a los guionistas de CSI…

Crédito imágenes CC: 1 2

Publicado por Rafael

Graduado en Física y docente en Educación Secundaria. En el Máster en Formación del Profesorado comenzó en la investigación en la Didáctica de las Ciencias Experimentales. Cuenta con comunicaciones y artículos publicados sobre su trabajo predoctoral. Ha colaborado en diversas iniciativas de divulgación científica y astronomía aficionada.

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