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Fotografías de las perseidas y trazos estelares

Agosto 2022. Cercedilla, Madrid.

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Contra los gráficos de tarta https://exosfera.net/contra-graficos-de-tarta/ https://exosfera.net/contra-graficos-de-tarta/#respond Sun, 28 Aug 2022 17:58:29 +0000 https://exosfera.net/?p=2156 La visualización de datos a través de gráficos, como los gráficos de tarta, no es únicamente una cuestión estética. En numerosas ocasiones y en textos …

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La visualización de datos a través de gráficos, como los gráficos de tarta, no es únicamente una cuestión estética. En numerosas ocasiones y en textos de carácter científico, un gráfico puede expresar mucho más que una tabla de datos o una descripción textual. Un gráfico es una representación de una o varias series de datos, trasladando la misma relación que existe entre los mismos a un patrón geométrico-visual.

Tabla de contenidos

  1. ¿Cómo sabemos si un gráfico es bueno?
  2. Los gráficos de tarta (o diagramas de sectores)
  3. Argumentos a favor de los “gráficos de tarta”
  4. Argumentos científicos sobre el uso de “gráficos de tarta”
    1. La interpretación de gráficos de tarta: no tan precisa
    2. Nuestra percepción de áreas no es tan buena
  5. ¿Realmente necesito representar esos datos en un diagrama de sectores?
  6. En resumen
  7. Bibliografía

¿Cómo sabemos si un gráfico es bueno?

people discuss about graphs and rates
Mejor leerse el café antes de leer esta entrada que va para largo. Photo by fauxels on Pexels.com

Presentar los datos, no solamente de una forma atractiva, facilitando la interpretación y comprensión de los mismos, es una regla básica a la hora de escribir textos científicos, divulgativos o informativos. Los gráficos pueden (y deben) permitir observar de un vistazo tanto los propios datos como establecer comparaciones, tendencias entre los mismos o patrones más complejos.

Por lo tanto, un gráfico debe:

  1. Presentar la información de forma precisa.
  2. Presentar la información de forma accesible y clara, rápida.
  3. Representar que hay más allá de los datos: tendencias, comparaciones…

Por simple oposición a estos puntos básicos, un gráfico nunca será bueno si:

  1. Induce a error.
  2. Ofusca o presenta de forma muy compleja la información. (Mejor una tabla, ¿no?).
  3. No permite interpretar correctamente las relaciones entre los datos.

¿Intentando obtener medidas de los datos en una gráfica? Prueba En ese caso existe un modo sencillo de calibración de gráficas para poder tomar valores desde el archivo de imagen, con precisión.
Calibración de gráficas con Engauge Digitizer

Los gráficos de tarta (o diagramas de sectores)

Gráfico de tarta encontrado aleatoriamente en freepng. Es muy mejorable, tiene muchos sectores con valores muy similares que no permiten comparar bien. Además, tiene el valor encima porque no se entendería sin ellos.

Un diagrama de sectores es una representación gráfica de datos. Estos datos deben ser datos cualitativos (tanto ordinales como no) o cuantitativos, siempre que sean discretos para poder establecer una cantidad finita de valores que puede tomar.

Sobre un área circular se establece una relación de proporción entre un sector circular y el ángulo que corresponde y la frecuencia de cada valor que toma la variable (esto es, un sector, y por eso son gráficos de sectores y no de tarta).

Por lo tanto, el área circular entera corresponde al total de los datos y cada sector nos permite observar la relación respecto al “todo”. Aquí se nos plantean directamente dos cuestiones triviales:

  1. Parece buena idea para visualizar datos en conjunto al total y porcentajes.
  2. Parece buena idea para visualizar variables con pocos niveles de medición.

Aquí cabe destacar el caso de los diagramas de sectores “en 3D” en los que se introduce la información como un volumen cilíndrico dividido en sectores, donde el factor de la perspectiva anula cualquier tipo de escala uniforme que permita recuperar o comprar información, por lo que no se pueden considerar ni un gráfico.

Típico gráfico de tarta en que está TODO MAL. ©ThinknomicsGlobal. Tomado de Thinknomicsglobal.com.

Analicemos el gráfico anterior. ¿Qué es esto? Tenemos un montón de colores similares (o el mismo) para varios sectores. La intención es que cada gama de colores representa una categoría superior que agrupa varias categorías de la variable, pero apenas se distinguen. La variable tiene 13 categorías distintas, muchas forman sectores indistinguibles entre sí, otra es literalmente una línea. No hay leyenda porque también se pone cada categoría al lado.

Como no se puede recuperar o estimar ningún valor del gráfico, el autor tiene que poner al lado de cada sector el dato y, además, por duplicado: absoluto y relativo. ¿No ocuparía menos espacio hacer una pequeña tabla con 13 filas, quizás con valores descendentes o agrupados por categorías superiores? Quizás podría haber realizado un gráfico de barras apiladas, con una barra para cada categoría superior.

Y lo peor de todo, son sectores separados del centro y ENCIMA en “3D”. La perspectiva hace que se pierda definitivamente cualquier relación de escala uniforme entre las áreas/ángulos. Es el ejemplo perfecto de un diagrama de sectores que:

  • No presenta la información de forma precisa.
  • No ofrece la información accesible y clara.
  • No permite ir más allá de los datos: no podemos comprar ni comprender qué relación hay entre ellos

Argumentos a favor de los “gráficos de tarta”

  1. Se encuentran prácticamente en cualquier texto divulgativo, informativo y hasta en textos científicos, por lo que pueden ser interpretados por el público en general.
  2. Te permite observar el “todo” para comprar respecto al total.
  3. La comparación es sencilla siempre que tengamos pocas categorías*

*O no, si estas son muy parecidas, ponemos “3D” o por diversas cuestiones que encontraremos a continuación.

sliced cake on plate
En contra de estas tartas no tengo nada. Photo by Abhinav Goswami on Pexels.com

Argumentos científicos sobre el uso de “gráficos de tarta”

Los estudios al respecto se aproximan desde dos direcciones. Primero pueden hallarse estudios a través de la psicofísica, que estudia cómo percibimos la realidad (física) y, por tanto, cómo percibimos longitudes, áreas, ángulos, volúmenes y las relaciones entre ellos.

La segunda vía de aproximación es en torno a la visualización de datos, diseño gráfico y los factores (también psicológicos) que intervienen en nuestra comprensión de los gráficos como una representación.

Lo primero de todo es que debemos tirar a la basura cualquier diagrama de sectores con categorías innumerables, que necesite tener los datos sobreimpresos o que no haga relación a los datos como parte de un todo. Estaríamos de partida en una situación que hace ininteligible o incompresibles los datos o en un formato de visualización que no es el idóneo (y necesitaríamos un histograma, barras…).

La interpretación de gráficos de tarta: no tan precisa

En la investigación sobre visualización de datos, Siirtola (2019) en The Cost of Pie Charts hace una revisión de lo que sabemos actualmente sobre la relación entre percepción y este tipo de gráficos:

“El gráfico de tarta es criticado como un formato ineficiente, dado que el dato que se representa puede ser interpretado desde distintas fuentes (ángulo, longitud del arco, área del segmento circular) (Siirtola et al., 2019). Es conocido que las longitudes (lineales) son mucho más fáciles de estimar que los ángulos, y que la estimación de áreas es mucho peor (Cleveland, 1987).”

En su experimento, comparan la percepción de un gráfico de barras, un gráfico de tarta y una tabla con los datos. Cuando la diferencia entre los sectores o barras es clara, ambos tipos tienen una interpretación mucho más efectiva que una tabla, siendo el gráfico de barras mucho más efectivo. Cuando las diferencias entre los elementos son muy pequeñas, el gráfico de tarta es menos efectivo y preciso que usar la tabla de los datos, pero esto no ocurre con un gráfico de barras.

Kosara y Skau (2016) llevaron a cabo un estudio en la percepción de los diagramas de sectores cuando estos se hallan, además, distorsionados. Esta distorsión bien corresponde a la relación de aspecto entre los dos ejes cartesianos (estirados o comprimidos en alguna dirección), a que los sectores se “separan” entre sí, etc. Además, analizaron los gráficos de este tipo presentes en medios escritos o medios de comunicación. Encontraron que es habitual encontrar diagramas de sectores que incluyen el propio dato sobreimpreso. Esto es una contradicción con la necesidad de utilizar un gráfico si voy a escribir los datos de todos modos (debería usar una tabla), pero mejoraban la comprensión de los mismos, ya que no los estimamos bien de partida. Señalan que, en cierta forma paradójica, los diseñadores gráficos que los han creado ya intuitivamente, comprenden que no son gráficos precisos. 

Ejemplo de un diagrama de sectores que no nos dice nada visualmente, los res sectores parecen exactamente iguales. Se hace necesario incluir el valor. ©ASPECT MR. Ejemplo tomado de Aspectmr.com.

Todos los casos de diagramas de sectores empleados en el estudio resultaron en una sobreestimación de los valores pequeños y una infraestimación de los valores mayores (esto tiene relación con la psicofísica de la percepción visual, como veremos más adelante). En cuanto a los diagramas de sectores “separados” son aún mucho menos precisos. Consideran que el área en blanco entre los sectores introduce un factor de confusión.

Además, en muchas ocasiones este tipo de gráficos toman mucho área en relación con lo que ocuparían los datos en formato texto, en una tabla o en otras opciones. Esta situación se agrava cuando a menudo se añaden etiquetas a los sectores que suelen ir mal dispuestas (con flechas, líneas, junto al área…) en lugar de en una leyenda, extendiendo el área del gráfico de forma innecesaria (y con mucho espacio en blanco, diría yo). Por lo tanto, en cuanto a una “economía textual” mucho más tenida en cuenta en la redacción de textos científicos, tenemos otra razón para evitarlos. No perder espacio.

Ejemplo de como la percepción con perspectiva distorsiona la interpretación del gráfico. En el ejemplo “3D” la categoría B parece ser idéntica a la categoría A, mientras que sin perspectiva se observa que uno es aproximadamente un 45% y un 30% respectivamente. Al mismo tiempo, las categorías C y D parecen tener valores idénticos, y en “3D” E también. Tomado de In y Lee (2017) Recuperado de este enlace.

Nuestra percepción de áreas no es tan buena

En cuanto a los estudios que fundamentan a estos anteriores, encontramos los que provienen de la psicofísica y sobre la percepción humana. En A Psychophysical Investigation of Size as a Physical Variable, Jansen and Hornbaek (2016) recapitulan lo conocido sobre la percepción visual humana. Esta funciona como una ley de potencias P=bS^a. Lo que percibimos (P) es una cantidad que escala un factor b la cantidad física real S, que además se comporta como una potencia. Este modelo se conoce como Ley de potencias de Steven.

Sus resultados concluyen que la percepción de volúmenes y superficies lineales es bastante más precisa que para esferas. Para las esferas, lo percibido rápidamente se malinterpreta si se encuentra codificado en el volumen de un cuerpo esférico. Cuando se codifica en la superficie, se mejora la precisión de la percepción, pero sigue desviándose de forma notable.

Si ya cuesta distinguir en volúmenes, ¿qué es lo que están tomando como referencia aquí? La pirámide azul parece varias veces la roja pero no así el valor que ofrecen. Tomado de Politikon.es.

Macdonald-Ross (1977) ya comprobó que la percepción de las áreas de sectores circulares/círculos son generalmente infraestimadas (el factor b y a son menores que 1). De esta forma, cuando observamos un gráfico percibimos mejor y comparamos mejor entre gráficos de barras que otros basados en áreas circulares o cuadradas, y mucho mejor que otros basados en volúmenes como cubos o esferas.

Y aquí entra también cómo percibimos otro tipo de infografías que usan círculos para representar datos, como por ejemplo, círculos que según su tamaño representan una cantidad numérica. En el caso de los círculos, ¿qué parámetro es el que recoge la variable: el radio-diámetro o el área? No es lo mismo la percepción de un círculo respecto a otro con un radio que es el doble que otro cuyo área es el doble. Se puede malinterpretar de una forma muy importante los datos cuando los representamos en áreas circulares codificando el dato en el radio respecto a emplear el área.

Cuando usamos el radio como variable, la diferencia es mucho más sobreestimada. Las diferencias utilizando el volumen como variable son mucho más realistas. Dentro del círculo que depende del radio para el valor 3000 parece caber una decena de círculos como los del valor 1000.

¿Realmente necesito representar esos datos en un diagrama de sectores?

A menudo encontramos diagramas de sectores que ocupan más espacio de lo que podría ser una referencia a los datos en el mismo texto. Por ejemplo, representar los resultados de una encuesta en la variable “sexo” siendo esta una variable dicotómica/binaria: hombre o mujer. ¿Tiene sentido representar un diagrama en que aproximadamente los dos valores son cercanos al 50%? Si lo que quisiéramos indicar que no existe esa igualdad (por la población objeto del estudio, por sesgos u otras razones), ¿no es más sencillo indicar y discutir dicho dato en el texto? Si indico que en mi estudio un 20% solamente son mujeres, por sencilla lógica la otra parte son el 80%.

¿Esto era necesario? Tomado de un trabajo escolar en Scribd.

Quizás el uso más racional e indicado para este tipo de diagramas o gráficos sea a nivel divulgativo, para introducirlo como parte del diseño gráfico o narrativa que acompaña a la información. Especialmente si tratamos con un concepto que englobe la totalidad.

Spence y Lewandowsky (1991) en Displaying Proportions and Percentages, así como Tufte (1983) en su obra de referencia casi universal sobre visualización de datos, recomiendan siempre usar tablas en detrimento de los gráficos cuando los conjuntos de datos son menores a 20 observaciones/muestras. Además, dado que la percepción de la longitud es mucho más exacta que la del área, recomiendan emplear un gráfico de barras o de cualquier otro tipo frente a un diagrama de sectores, al estar basados en el área.

Sin embargo, reconocen la utilidad del diagrama de sectores cuando se quiere representar proporciones y comparar entre estas respecto al total, entre ellas, o simplemente queremos que el lector tenga una idea estimada del orden de magnitud en lugar de un dato más preciso.

El empleo de estos gráficos en cualquier caso está supeditado a los primeros principios que enunciamos, que no se representen valores muy similares, ya que nos los distinguimos, a no usar un número elevado de categorías, que sea claro y legible. Los expertos en diseño gráfico y visualización de datos generalmente siempre recomiendan sustituir cualquier diagrama de sectores por otras opciones, pues estas son más fiables y nos pueden evitar caer en un horror barroco de gráficos de tarta ininteligibles.

El gráfico de tarta de las tartas. Aquí se usa el concepto del diagrama de sectores como parte de la infografía y la narrativa. La fuente original parece no existir ya, pese a que la imagen sobrevive a base de copias. El enlace original recuperado en Wayback Machine.

En resumen

  • Para pocos datos siempre suele ser más útil presentar una tabla, sobre todo si no vamos más allá con relaciones o tendencias de los datos.
  • Para datos que queremos comprar en función del total, usar un gráfico de barras apiladas.
  • Relegar a los diagramas de sectores a casos muy claros, divulgativos, donde queremos mostrar órdenes de magnitud y comparaciones.
  • Si empleamos áreas circulares para comprar entre sí, siempre usar el área como variable y no el diámetro.
  • Tener siempre en mente los principios que hacen que un gráfico sea bueno, idependientemente del formato elegido.

Bibliografía

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Los pigmentos del otoño — Experimento https://exosfera.net/pigmentos-otono-experimento/ https://exosfera.net/pigmentos-otono-experimento/#respond Mon, 14 Feb 2022 20:10:42 +0000 https://exosfera.net/?p=2098 En este experimento dedicado al otoño se puede comprobar cómo la clorofila, que da el color verde a las hojas de los árboles y es …

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En este experimento dedicado al otoño se puede comprobar cómo la clorofila, que da el color verde a las hojas de los árboles y es clave en la fotosíntesis, se degrada cuando llega la temporada de menos luz y temperaturas más bajas. Para ello habrá que recoger hojas tanto verdes como amarillas, extraer sus pigmentos y separarlos mediante un procedimiento muy sencillo llamado cromatografía.

La presente actividad práctica de laboratorio comprende de una forma transversal numerosos conocimientos clave, así como una adaptabilidad a diversos niveles educativos. Se puede enmarcar dentro de los conceptos curriculares de química: disoluciones y mezclas, separación de sustancias, polaridad, química orgánica. Así como conceptos de física o biología como el color y la reflexión/absorción de luz, las células vegetales y la fotosíntesis.

Experiencia realizada dentro del proyecto I.am.able. Este proyecto de la UCM busca una formación inclusiva mediante la preparación de experimentos prácticos para llevarlas a cabo en centros educativos no universitarios con personas con diversidad funcional.

Imagen de portada: Chris Lawton on Unsplash

Los pigmentos naturales

Los ​pigmentos son compuestos que absorben parte de la luz. Su estructura química y su cantidad determinan el tono y la intensidad del color. El pigmento de la clorofila en las hojas ayuda a que se realice la fotosíntesis, al absorber la luz del Sol, la energía necesaria para combinar el dióxido de carbono y el agua, para formar glucosa o el alimento.

Luz y color

La luz solar o la luz blanca es luz compuesta por la suma de luz en todos los colores. La luz es un fenómeno ondulatorio y cada color tiene una frecuencia, por lo que es usual referirnos a todos los tipos de luz visible como el espectro de la luz. La luz azul tiene más energía que la luz roja. Si un objeto absorbe todos los colores lo vemos negro y si refleja todos, blanco.

teracciona con los cuerpos físicos, algunos colores se absorben y otros se reflejan. Son los colores reflejados los que dan el color que observamos. En el ejemplo una hoja absorbe los colores morado, azul y rojo de la luz solar, reflejando los colores verdes y amarillos que observamos.
La luz del Sol es luz blanca, cuando esta luz interacciona con los cuerpos físicos, algunos colores se absorben y otros se reflejan. Son los colores reflejados los que dan el color que observamos.

La clorofila

La ​clorofila da a las plantas su color verde. La clorofila absorbe parte de los colores, dejando el verde que se refleja.

Existen dos moléculas de clorofila, similares pero distintas:

  • la clorofila A da un color verde intenso o verde azulado, similar al de los abetos;
  • la clorofila B es el color verde pardo, el color usual de la mayoría de vegetales.

Las clorofilas son los pigmentos más abundantes en el reino vegetal. Son moléculas muy complejas que se diferencian en tener un grupo metilo (-CH3) o formilo (-CHO).

Los pigmentos principales en los colores típicos del otoño: clorofilas, en hojas verdes; xantófilas en hojas amarillas; carotenos en hojas rojas.
Los pigmentos principales en los colores típicos del otoño.

En otoño, el ciclo de las plantas caducas produce que las hojas comiencen a almacenar residuos para finalmente desprenderse. En este proceso la clorofila desaparece paulatinamente a medida que también se descompone.

Entonces las hojas pierden la coloración verde característica y aparecen otros colores como los amarillos y naranjas dados por las ​xantófilas y los rojos dados por los carotenos​. Las diferentes mezclas de clorofila y otros pigmentos en la hoja son los causantes de la gama de colores existentes en otoño.

Los pigmentos del otoño

Los ​carotenos y xantófilas son pigmentos secundarios que junto a la clorofila participan en la fotosíntesis. En las hojas, estos pigmentos se forman en otoño por la glucosa retenida en las hojas.

Xantófilas

Las xantófilas son moléculas conocidas de la vida diaria como la luteína, que da color a la yema del huevo o los plátanos. Sus colores son amarillos.

Apenas se degradan en las hojas, por lo que al degradarse las clorofilas observamos los colores debidos a las xantófilas.

Su estructura química es más sencilla que la de la clorofila, pero tienen grupos como el hidroxilo (-OH). Los átomos de oxígeno en estos grupos favorecen su solubilidad en agua, al dar un cierto carácter polar.

También están presentes en los exoesqueletos de los mariscos, que al calentarlos se vuelven rojos porque se convierten en carotenos. Algunos colorantes como los E-161 están basados en las xantófilas.

Carotenos

Los carotenos están presentes en la alimentación a través de los β-Carotenos en alimentos como la zanahoria o el tomate, y están relacionados con el proceso de la vitamina A. Sus colores varían entre el rojo y los naranjas.

Son más simples que las xantófilas, únicamente formadas por C e H. Sin átomos de oxígeno, apenas se disuelven en agua.

Gráfico que muestra el porcentaje de luz que absorben varios pigmentos. Las clorofilas absorben luz roja y azul, por lo que las vemos verde. Las xantófilas y los carotenos únicamente absorben colores en la zona azul, por lo que los observamos con tonos amarillos y rojizos.
Gráfico que muestra el porcentaje de luz que absorben varios pigmentos. Las clorofilas absorben luz roja y azul, por lo que las vemos verde. Las xantófilas y los carotenos únicamente absorben colores en la zona azul, por lo que los observamos con tonos amarillos y rojizos.

Otros pigmentos

Existen también las ​antocianinas​, de color púrpura, presente en algunas hojas de plantas como la cebrina, la remolacha o la col lombarda. El color marrón oscuro de las hojas secas proviene de los ​taninos, un producto de sabor amargo, da ese sabor al té o café. Son en realidad productos desecho de la degradación de las hojas.

Foto de col lombarda cortada
Lombarda – Photo by cottonbro on Pexels.com
Hojas secas de té
Hojas de té negro – Photo by Eva Elijas on Pexels.com

La fotosíntesis

En lo referente a la ​fotosíntesis, el pigmento más importante es la clorofila. La clorofila es el pigmento que recoge más eficientemente la ​energía ​de la luz solar para transformarla en ​energía química, ​rompiendo las moléculas de agua y dióxido de carbono para formar nutrientes. Estos pigmentos se encuentran en los ​cloroplastos​, orgánulos propios de las células vegetales.

Reacción de la fotosíntesis: 6H20+6CO2 -energía luz-> C6H1O6 + O2. Agua + dióxido de carbono - a través de la luz solar -> glucosa + oxígeno.
Esquema simplificado de la reacción química de la fotosíntesis

Cromatografía

Para hacer una separación de los distintos pigmentos usamos la técnica conocida como cromatografía​. Es uno de los procedimientos más comunes que se utilizan para separar e identificar sustancias que componen una mezcla.

Cromatografía ejemplo con nuestros pigmentos, los más polares son los menos arrastrados y suben menos por la tira de papel de filtro. Los más apolares recorren más la tira. Finalmente quedan separados. El ejemplo representa un vaso de precipitados con varios polígonos de colores representando los distintos pigmentos, estos suben más o menos por una tira de papel.
Cromatografía ejemplo con nuestros pigmentos, los más polares son los menos arrastrados y suben menos por la tira de papel de filtro. Los más apolares recorren más la tira. Finalmente quedan separados.

La cromatografía es una técnica desarrollada por MIjaíl Tsvet y precisamente usada separar pigmentos como las clorofilas o las xantófilas. El nombre cromatografía proviene de croma (color) + grafía (escritura), por lo que viene a indicar precisamente que se trata de «escribir» los distintos pigmentos.

En una cromatografía tenemos una mezcla de moléculas que queremos separar en una fase móvil (generalmente líquida, un disolvente) sobre una fase estacionaria (usualmente un papel de filtro). El disolvente se desplaza absorbido mediante capilaridad por esta fase, arrastrando las sustancias disueltas en la mezcla.

Cada molécula es arrastrada con distinta fuerza dependiendo de las sustancias de las fases y la propia naturaleza de las sustancias a separar.

En resumen, diferentes pigmentos aparecerán a cierta distancia de su punto inicial porque las moléculas de estos colores tienen diferentes tamaños, formas y solubilidades. Las moléculas que se disuelven mejor se desplazan rápidamente y más lejos.

Aplicación a nuestros pigmentos

El etanol que usamos en este caso es un disolvente menos polar que el agua y, por tanto, arrastrará mejor las sustancias que sean más apolares. Además, el soporte es papel —celulosa— con grupos hidroxilo (-OH) y en consecuencia, con un carácter polar que refuerza el arrastre.

1 - Carotenos

Los carotenos no están formados por grupos que contengan oxígeno y son apolares.

2 - Antocianinas

Las antocianinas tienen grupos hidroxilo (-OH) que le dan leve polaridad y grupos metoxilo (-O-CH3) que reducen la polaridad, por lo que quedan en un balance intermedio.

3 - Xantófilas

Las xantófilas tienen grupos hidroxilo (-OH) que le dan leve polaridad.

4 - Clorofila A

La clorofila A tiene grupos metilo (-CH3), teniendo bastante polaridad.

5 - Clorifila B

La clorofila B tiene grupos formilo (-CHO), muy polares.

Mediante la tira hecha con papel de filtro podremos observar los distintos pigmentos separados. El que más recorre el papel son los carotenos, que son apolares y se disuelven bien en alcohol; sin embargo, la clorofila es polar y se encontrará abajo del todo.

Material necesario

Por grupo de trabajo (2 o 4 personas).

  • Hojas de plantas, al menos 8. Al menos de color verde, como la espinaca fuera de temporada otoñal. O bien de diversos colores (rojas, amarillas y verdes) recolectadas en otoño,
  • tijeras,
  • mortero,
  • alcohol (preferentemente etílico),
  • embudo,
  • dos vasos de precipitados,
  • probeta,
  • papel de filtro para hacer un filtro y dos trozos de 5×10 cm (o filtros de café, en caso de no tener disponibilidad),
  • soporte para el embudo y opcional soporte para las tiras de papel de filtro.
Fotografía del material listado anteriormente.
Material necesario.

Realización de la experiencia

  1. Cortar las hojas en trozos muy pequeños.
  2. Añadir 15 ml de alcohol.
  3. Machacar los trozos.
  4. Eliminar el agua (si hay, producto de la humedad almacenada en las hojas).
  5. Añadir 10 ml de alcohol hasta tener 25 ml en total.
  6. Machacar y remover.
    Pregunta pertinente: ¿De qué color es la mezcla? ¿Qué puede causar ese color?
  7. Colar el contenido del mortero con un filtro y el embudo en un vaso de precipitados.
  8. Preparar una tira de papel de filtro en un soporte.
  9. Colocar el papel tocando el líquido.
    Pregunta pertinente: ¿Qué ocurre con la mezcla?
  10. Esperar a que se vayan absorbiendo los pigmentos.
    Pregunta pertinente: ¿Qué se observa?

    Comentarios a realizar durante la marcha:
    — ¿Qué más se podría separar de la misma manera?
    — ¿Podrías usar otro líquido en lugar de alcohol? ¿Qué piensas que ocurriría en ese caso?
    — ¿Qué otros vegetales o animales conoces que tengan pigmentos similares?

Medidas de seguridad

Siempre se mantendrá el uso de un equipo de protección individual (EPI) consistente en bata de
laboratorio, gafas y guantes. El alcohol es inflamable e irritante. Evita el contacto con los ojos y las fuentes de calor.

  • R11: Fácilmente inflamable.
  • S16: Conservar alejado de toda llama o fuente de chispas – No fumar.
  • S2: Manténgase fuera del alcance de los niños.
  • S46: En caso de ingestión, acúdase inmediatamente al médico y muéstresele la etiqueta o el envase.
  • S7: Manténgase el recipiente bien cerrado.

Más información: ​ficha de seguridad del alcohol etílico.

Los pigmentos del otoño

A continuación vemos el resultado de la experiencia para hojas de espinaca, hojas amarillas y hojas rojas. En las hojas verdes se observa una línea verde intensa que corresponde a la clorofila, siendo la parte superior más oscura (Clorofila A). Ligeramente, encima una franja amarilla propia de las xantófilas y algunos carotenos. Hemos conseguido separar los pigmentos del otoño.

Imagen que muestra las tres tiras de papel descritas en los párrafos.
A la izquierda la cromatografía de una hoja roja, en el centro la de una verde y a la derecha la de una hoja roja.

En la de hoja amarilla sólo se ve una franja amarilla de las xantófilas y en la parte superior del todo algunos pigmentos oscuros, carotenos.

Para las hojas rojas se observan unas franjas pequeñas de xantófilas, antocianinas y por encima los carotenos. Estas también realizan la fotosíntesis y sigue habiendo clorofila pese a que dominen los carotenos y antocianinas por lo que puede aparecer también.

El segundo ejemplo se ha realizado durante 12 horas de cromatografía. Se observa la división entre carotenos y antocianinas (morado-púrpuras) y ¿los taninos oscuros?, en la hoja amarilla respecto a los carotenos más marrones. En la verde vemos las dos clorofilas de forma mucho más clara.

Imagen que muestra las tres tiras de papel del experimento que se ha dejado más tiempo.

Más información

Si has realizado esta experiencia o te ha servido este post de utilidad, puedes dejar tus comentarios y resultados.

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Fotografía planetaria Ago-21 https://exosfera.net/fotografia-planetaria-ago-21/ https://exosfera.net/fotografia-planetaria-ago-21/#respond Thu, 16 Sep 2021 19:34:56 +0000 https://exosfera.net/?p=1562 Aprovechando el buen tiempo que brinda el verano, uno de los objetivos fue probar el uso de una máscara Bahtinov, una máscara que permite afinar …

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Aprovechando el buen tiempo que brinda el verano, uno de los objetivos fue probar el uso de una máscara Bahtinov, una máscara que permite afinar el enfoque del telescopio en base a patones de difracción combinados, que adquieren una alineación sólo en el foco. De estas pruebas provienen estas pequeñas fotografías planetarias. Realizadas mediante suma de fotografías individuales tratadas con AutoStakkert! y posteriormente con los wavelests de Registax. Ajustes finales y etiquetas en Photoshop. (Las fotografías han sido tomadas con un telescopio Newton de f=6, lo que no le hace ideal para conseguir grandes aumentos y nitidez en observación planetaria, si no en objetos de cielo profundo: galaxias, nebulosas…)

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Guía de observación de las Perseidas https://exosfera.net/guia-observacion-perseidas/ https://exosfera.net/guia-observacion-perseidas/#respond Sun, 08 Aug 2021 18:58:39 +0000 http://rafaelcampillos.es/?p=106 Las Perseidas, popularmente conocidas como las Lágrimas de San Lorenzo, son una lluvia de meteoros de actividad alta. Su período de actividad es largo y se …

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Las Perseidas, popularmente conocidas como las Lágrimas de San Lorenzo, son una lluvia de meteoros de actividad alta. Su período de actividad es largo y se extiende entre el 17 de julio y el 24 de agosto. 


¿Qué son las perseidas?

Una perseida junto a la galaxia de Andrómeda
Una perseida junto a la galaxia de Andrómeda

El cuerpo progenitor de las Perseidas es el cometa 109P/Swift-Tuttle, descubierto por Lewis Swift y Horace Parnell Tuttle el 19 de julio de 1862, posee un diámetro de 9.7 kilómetros y su órbita alrededor del Sol dura un período de 135 años.

Su última aparición tuvo lugar en 1992 produciéndose en 1993 un pico de actividad con THZ (tasa horaria cenital, es decir, meteoros que se ven por hora en condiciones ideales) de 300. Desde entonces, la actividad ha descendido progresivamente hasta el nivel normal.

La lluvia de las Perseidas es de las más populares y observadas en el hemisferio norte debido a que transcurre en agosto, mes de buen tiempo y vacacional por excelencia. La intensidad de esta lluvia de meteoros y la época del año en la que se produce (en la que la visibilidad suele ser buena) hacen que las Perseidas sean una de las lluvias de estrellas fugaces más populares y fáciles de contemplar para todo el mundo.

Son meteoros de velocidad alta 59 km/s que radian (de ahí que el punto de que parece que vienen se llame radiante) de la constelación de Perseo o Perseus. Dado que es una constelación con alta declinación, es decir, que es próxima al polo norte celeste, desde latitudes bajas la observación de la lluvia es dificultosa.

Las Perseidas son también conocidas con el nombre de lágrimas de San Lorenzo ya que el 10 de agosto es el día de este santo. En la época medieval y el renacimiento las Perseidas tenían lugar la noche en que se le recordaba, de tal manera que se asociaron con las lágrimas que vertió San Lorenzo al ser quemado en la hoguera. Con el paso del tiempo el calendario se va “desincronizando” y hoy en día ocurre unos días después.

🠲 Ver el álbum de fotos de las Perseidas

Una perseida en una fotografía de larga exposición mostrando trazos en forma de arco creados por las estrellas debido a la rotación terrestre sobre el sensor fotográfico.
Una perseida en una fotografía de larga exposición mostrando trazos creados por las estrellas debido a la rotación terrestre.

Previsión para el 2023

La Tasa Horaria Zenital (THZ) habitual de las perseidas es aproximadamente de 100 meteoros/hora, lo que le convierte en la 3ª mayor lluvia del año. Sin embargo, las condiciones adversas (nubosidad, entorno), la contaminación lumínica no permitirán apreciar la THZ de 100 meteoros/hora dado que los meteoros más abundantes suelen ser los menos pesados y, por tanto, los que son menos brillantes. Es necesario aclarar también que la THZ es el número ideal de meteoros en condiciones perfectas y con el radiante, o el punto del que parecen provenir los meteoros, en el cenit (el punto encima de nuestra cabeza/vertical del lugar).

Su máximo cae este año 2023 en el día 13 de agosto entre las 7 y 14 h tiempo universal y en horario de verano en España, que es dos horas más, en torno a las 9 de la mañana y las 4 de la tarde del día trece. El máximo cae durante el día, sin embargo, podremos observar mucha actividad en las noches anteriores y posteriores. Es decir, la noche del día 12 y del día 13 son las más apropiadas para observar. Así mismo, el margen de actividad posible en máximos podría comenzar a las 4 de la madrugada del día 12 (2 h TU) y alargarse hasta las 11 de la noche del día 12 (21 h TU).

En 2016 se observó un aumento de actividad debido a paso de la tierra por los restos del cometa progenitor en su órbita. Este año podría producirse un posible aumento de actividad a las 20 h TU o las 10 h locales y a las 5 h (3 h TU, débil) , de la noche del 12 al 13 de agosto, debido a esos filamentos débil de material residual del cometa, mejorando las condiciones de la noche del 12 al 13 de agosto.

En 2021 se observó un segundo pico de actividad día y medio después del pico principal y en 2023 entre las 3 y 4 h de la madrugada del día 14 (1-2 h TU) podría producirse un aumento de actividad si se produce el cruce con los restos del paso del cometa en el año 68 a.n.e.

Además, la Luna se encontrará el día 16 de agosto en fase de Luna Nueva, así que la Luna tendrá unas condiciones extremadamente favorables para la observación de las Perseidas. En latitudes españolas y tendremos al menos un buen grado de visibilidad, pues la constelación de Perseo sale al anochecer.

[Véase la nota al final del artículo: Qué es la THZ o Tasa horaria cenital]

Además de las Perseidas se pueden observar otros meteoros como los esporádicos provenientes de los “residuos” del sistema solar, así como de otras lluvias que están menos activas. Esta son las Kappa–cígnidas con máximo este año el 17 de agosto y que suele dejar meteoros muy brillantes, pero con poca actividad. Estos meteoros parecen provenir de la constelación del Cisne, situada muy cerca del punto más alto de la esfera celeste (cenit) sobre nuestras cabezas. También las Delta–acuáridas sur, con máximo el día 30 de julio, en este caso su radiante está en la constelación de Acuario situado hacia el sur, por lo que de ahí parecería provenir si observamos alguna.

¿Cómo observar las perseidas?

A) Lugar: se recomienda elegir cualquier sitio alejado de la contaminación lumínica, es decir, lejos de núcleos urbanos. No son necesarios ni prismáticos ni telescopios, dado que es un fenómeno apreciable a simple vista y que mejor cuanto más cielo observemos. En los foros de astronomía, como el de la Agrupación Hubble, seguro que encontramos alguna reunión. Podemos ver también sitios con este mapa para Google Maps (kmz) de la península que muestra la contaminación lumínica.

Crepúsculo al anochecer desde la sierra de Madrid
Es importante observar desde lugares con poca contaminación lumínica.

B) Indumentaria: Es importante ir bien abrigado, ya que las mejores horas son al amanecer e incluso en verano suele refrescar con temperaturas normales en torno a 12 °C y puede llegar en algunos casos extremos según la región a temperaturas de hasta 5 °C e incluso inferiores. Una silla plegable o esterillas para tumbarse son ideales para observar, así como llevar un termo con bebida caliente o alimentos calóricos como chocolate. Es también importante tener a mano gorros o guantes, llevar buen calzado y calcetines (pies y cabeza con los puntos por donde se pierde más calor). Es mejor llevar capas finas de ropa que simplemente algo que abrigue mucho sin un punto medio. También es útil revisar la previsión meteorológica para la localidad en AEMET.

Es importante llevar un equipamiento adecuado, sobre todo para el frío.

C) Dónde mirar: No se recomienda mirar directamente al radiante, sino unos 20º en torno a él (unos 20º puede ser el tamaño de una mano extendida sobre el cielo entre pulgar y meñique con el brazo estirado). Esto es cuestión de perspectiva, los meteoros pasarán más rasantes sobre la atmósfera y parecerán más largos, que simplemente, mirándolos de frente. Recomendado: mirar a la Osa Mayor que es muy reconocible o al cuadrado de Pegaso. Recomiendo leer este manual de la Sociedad de Observadores de Meteoros y Cometas de España (SOMYCE). También podemos consultar en casa algún software de planetario como Stellarium.

Equivalencias aproximadas de medidas angulares con diversas posiciones de la mano con el brazo extendido.
Equivalencias aproximadas de medidas angulares con diversas posiciones de la mano con el brazo extendido.

D) Utensilios útiles: además de la ropa de abrigo, un buen asiento o cojines nos evitarán un dolor de espalda si miramos al cenit. También es buena idea el uso de planisferios si no estamos habituados a guiarnos y encontrar las constelaciones en el cielo (o mirar el día de antes para “encontrar” las constelaciones). Asimismo, es útil pasar 20 minutos antes de observar para acostumbrar el ojo a la oscuridad.

¿Cómo fotografiar perseidas?

black dslr camera mounted on black tripod
Photo by PhotoMIX Company on Pexels.com

Para fotografiar las perseidas es vital tener una cámara que permita seleccionar los valores ISO y tiempos de exposición necesarios.

Yo usualmente uso una Canon 400D sobre un  trípode y un disparador automático programable, disparando a 800/1600 ISO (según la luz de fondo) y unos  20-30 segundos de exposición a la relación focal menor que se pueda (hay que probar cuál es la mejor configuración que capte luz más rápido sin saturar la imagen con contaminación lumínica).

Evidentemente, esto varía según el objetivo usado, lo ideal es usar el objetivo de menos focal (más campo y más luminoso) que tengamos y apuntar a esos 20º del radiante. ¡Ojo! Aunque las estrellas parezcan en el infinito, el enfoque demuestra que no y es necesario enfocar “un poquito antes” que la posición de infinito del objetivo (método de ensayo y error para ir aproximándose al punto en el que hacen foco). Con una videocámara con sensibilidad suficiente también se pueden capturar, pero las domésticas no tienen la sensibilidad adecuada y se suelen emplear cámaras de vigilancia nocturna.

Colaborar con estudios científicos

Si ya has observado habitualmente lluvias de meteoros, quizás desees colaborar con tus datos de observaciones al International Meteor Organization (IMO) que recoge todos los datos de observadores para comprender mejor la dinámica del material que las origina y hacer las predicciones. Recomiendo seguir estos PDFs de la Sociedad de Observadores de Meteoros y Cometas de España (así como la web en general) para aquellos que deseen reportar sus observaciones.

Gráfico de actividad de las perseidas a lo largo del tiempo
Gráfica usual del IMO (International Meteor Organization) que recoge la actividad según se va reportando. (C) IMO

Radioafición y lluvias de estrellas

Otra de las formas de registrar las lluvias de estrellas es usando medios de radioaficionado. Todo se encuentra en esta presentación propia

Detección de meteoros en radio (Rafael Campillos Ladero AAM-UCM) from Agrupac Astronomica de la Safor on Vimeo.

Aquí puedes escuchar un par de meteoros de la lluvia de las Leónidas de 2011

Un meteoro masivo visto a través de su reflectividad en señales de radio
Un meteoro masivo visto a través de su reflectividad en señales de radio

Anexo final: Qué es la THZ

La tasa horaria cenital de una lluvia de estrellas es el número de meteoros que un solo observador vería en una hora bajo un cielo despejado, completamente oscuro si el radiante de la lluvia se encuentra en el cenit.

Hagamos más definiciones

Cielo oscuro: cielo en el que vemos estrellas hasta de magnitud 6.5, el límite de brillo perceptible a simple vista. Luego un cielo “normal” como el de las afueras de un pueblo normalmente no tendrá magnitud límite 6.5, y si hay Luna, mucho menos. Por lo tanto, esto nos limita ya a que los meteoros más débiles no podremos verlos (y son más numerosos).

Radiante de la lluvia: punto del que parecen venir todas las estrellas fugaces (si prolongamos los trazos) de la lluvia por efecto de perspectiva.  Si el punto del que parecen provenir no está en el cenit entonces habrá parte de esa semiesfera en la que se pueden ver los meteoros por debajo del horizonte

Cenit: punto que se encuentra a 90º del horizonte, es decir, encima de la cabeza, el punto más alto.

Además, la tasa horaria cenital depende de la “densidad” de partículas que tiene la fuente de la lluvia y de la fracción de cielo visible. La THZ concretamente tiene la fórmula siguiente THZ=\dfrac{\overline{HR}\cdot F\cdot r^{6.5-m_l}}{\sin{(hR)}}

F representa la fracción de cielo que ve el observador entre 0 y 1 (menor si hay nubes, por ejemplo). “r” es un parámetro poblacional propio de cada lluvia relacionado con la densidad de meteros (2.2 para las Perseidas) y sus masas, que va elevado a 6.5-la magnitud límite del cielo que tengas. Dividido del seno del ángulo que forma el radiante con el horizonte. HR es la tasa REAL que vería un observador por hora.

Esquema de la interpretación de la tasa horaria cenital.

El valor máximo se produce cuando lm=6.5, hR=90º y F=1. Obviamente, en las Perseidas sabemos que la altura que alcanza el radiante no es de 90º en latitudes como la de España, luego es imposible que HR=THZ=100. Si añadimos algo de contaminación lumínica al cielo, la cantidad que observamos se reduce. En resumen, no hay que confundir la actividad ideal total con la actividad “real” que observamos. No es bueno, bajo mi punto de vista, crear expectativas con 100 meteoros a la hora cuando ni el máximo puede ser de noche, ni vamos a tener estas condiciones ideales. Mucha gente puede salir defraudada por ver 20 en vez de 100 en una hora y pensará, ¡pues vaya timo!

Más información / Bibliografía

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Fotografías del cometa C/2020 F3 Neowise https://exosfera.net/fotos-neowise/ https://exosfera.net/fotos-neowise/#respond Sun, 02 Aug 2020 17:12:53 +0000 https://exosfera.net/?p=1215 Galería de fotografías del cometa C/2020 F3 Neowise, visible a simple vista durante Julio de 2020. Fotografías tomadas desde Cercedilla. Tomadas con una Canon 400D, …

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Galería de fotografías del cometa C/2020 F3 Neowise, visible a simple vista durante Julio de 2020. Fotografías tomadas desde Cercedilla. Tomadas con una Canon 400D, objetivo 50mm a f=1.8. Suma de varias exposiciones, alcanzando varios minutos de exposición total.

Más información sobre el C/2020 F3 Neowise y su paso en 2020

  • El cometa C/2020 F3 Neowise al anochecer, apreciándose la cola iónica
  • El cometa C/2020 F3 Neowise al anochecer
  • Tránsito de la ISS junto al cometa C/2020 F3 Neowise
  • El cometa C/2020 F3 Neowise al amanecer
La cola del cometa C/2020 F3 Neowise al amanecer junto a las constelaciones cercanasLa cola del cometa C/2020 F3 Neowise al amanecer junto a las constelaciones cercanas (con indicaciones)
Posición del comenta C/2020 F3 Neowise al amanecer entre las constelaciones

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La censura del darwinismo durante el franquismo https://exosfera.net/darwinismo-censura-franquismo/ https://exosfera.net/darwinismo-censura-franquismo/#respond Fri, 27 Dec 2019 23:41:49 +0000 https://exosfera.net/?p=1100 La siguiente historia es una recapitulación surgida a través de un ejemplar de bolsillo de El origen de las especies por la selección natural. La …

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La siguiente historia es una recapitulación surgida a través de un ejemplar de bolsillo de El origen de las especies por la selección natural. La obra en dos pequeños volúmenes presentaba algo curioso. Una pegatina en la primera página que cambiaba la editorial. La pegatina indica que el libro pertenece a “Ediciones Ibéricas” sin embargo con un poco de iluminación se lee el texto que el parche de papel intenta ocultar “Librería Bergua”. La historia detrás de estos viejos libros esconde la historia de la censura del darwinismo bajo el franquismo.


En nuestra querida capital, al día siguiente de iniciarse el movimiento del Ejército salvador de España, por bravos muchachos de Falange Española fueron recogidos de kioscos y librerías centenares de ejemplares de esa escoria de la literatura que fueron quemados como merecían.

ABC, Sevilla, 26/09/1936. [1], Imagen de portada [2].

Así relata la prensa afín al régimen una de las numerosas quemas de libros que por contenido, figura del autor o contexto político­–social eran censuradas por el franquismo. La foto de la portada no pertenece al comienzo de la contienda civil, se produjo en 1939, en el llamado Año de la victoria. La fotografía muestra al Sindicato Español Universitario arreglando la corrupción y engaño a las juventudes.

Portada de El origen de las especies por la sección natural (Vol 1 y 2, Ed. Bergua 1936)
El origen de las especies por la sección natural (Vol 1 y 2, Ed. Bergua 1936). Ejemplares censurados por al fraquismo.

La siguiente historia es una recapitulación surgida a través de un ejemplar de bolsillo de El origen de las especies por la selección natural. La obra en dos pequeños volúmenes presentaba algo curioso: una pegatina en la primera página que cambiaba la editorial. La pegatina indica que el libro pertenece a “Ediciones Ibéricas”. Sin embargo, con un poco de iluminación, se lee el texto que el parche de papel intenta ocultar “Librería Bergua”.

Imagen con iluminación al través de la pegatina de la editorial, observándose que tapa el sello editorial "Librería Bergua"
Imagen con iluminación al través de la pegatina de la editorial, observándose que tapa el sello editorial “Librería Bergua”

La editorial Bergua

La Editorial Bergua (y también librería) fue fundada en 1927 por Juan Bautista Bergua. Su actividad económica se disparó al considerar la edición de numerosas obras políticas, científicas y de acceso popular. Es en la línea Biblioteca de bolsillo en la que Bergua publica El origen del hombre y la selección en relación al sexo en 1933 y El origen de las especies por la selección natural en 1936. En concreto se sabe que los tomos de El origen… se imprimieron entre finales de agosto y principios de septiembre de 1936.

Bergua afirmaba —y así consta en su biografía—: “Es increíble que en España no haya más que ediciones caras, casi de lujo, de los grandes hitos de la cultura universal, como el Origen de las especies, o la Crítica de la razón pura”. Su éxito arrollador se basaba en presentar ediciones populares para el aprovechamiento de la clase obrera. Su éxito además fue acompañado por la situación sociopolítica de la República que permitía una libertad académica y de publicación. Bergua entra en contacto con la política a través de un trabajador de su finca (un jardinero) quién le motiva para suplir la necesidad de formación del pueblo. Además de publicar obras propias populares —pseudolibros de texto— para educar al pueblo, Bergua publica las obras de Marx, Lenin, Stalin o Trotsky en una colección titulada Nueva Rusia.

Biblioteca de bolsillo de la Librería Bergua
Biblioteca de bolsillo de la Libería Bergua

El fin de la editorial

Apenas pasaron menos de unos meses desde esa última impresión de El origen… cuando el bando sublevado entra en Getafe. Es esta localidad se localizaba la vivienda, sede, fábrica y almacenes de la editorial Bergua que, por motivos obvios, es asaltada por las tropas franquistas.

Mientras tanto en Getafe, los guardianes de la fe y su brazo secular se ensañan con los libros. Tras echar a la mujer y a los hijos y ocupar el chalet durante dos semanas, a la vuelta les hacen cavar zanjas, desmenuzar los libros en hojas y quemarlos con gasolina. De la Crítica de la razón pura, por citar sólo un ejemplo, se queman 40.000 ejemplares que se acababan de editar. Su hermano José, que llega a Getafe a los pocos días, tiene que tomar parte en la quema, aunque incrédulo de que algo así pueda ocurrir ¿a quien puede ofender la Crítica de la razón pura?. Afortunadamente solo queman libros en español, pero respetan la biblioteca particular de Juan Bautista Bergua, unos 5.000 libros, en idiomas extranjeros, sin duda extraños para los santos censores.

Biografía de Bergua [3]

Diezmados los fondos de la editorial y siendo detenido Juan Bergua (y salvado de un fusilamiento por intervención del general Mola tiempo después) es su hermano quién se hace cargo de la editorial. Para cumplir con el ánimo de la España franquista, se renombra como Ediciones Ibéricas. De los 40.000 ejemplares que acabaron en zanjas y hechos ceniza, milagrosamente se salva una parte de los fondos de la editorial. Estos fondos permanecerían —en el caso de la obra de Darwin— acumulando polvo, debido a la censura del darwinismo bajo el franquismo.

Darwin y el franquismo

El franquismo —como movimiento de extrema derecha y suscribiendo las tesis fascistas— aderezado de un componente fuertemente católico–integrista, rechaza toda tesis científica contraria a la doctrina católica. En el comienzo del golpe de estado la función censora recae en el futuro ministro Serrano Súñer. Posteriormente, será integrada en el ministerio del interior y otros organismos futuros que van cambiando de ministerio o cambiando su nombre.

Antonio de Zulueta. Imagen de la Residencia de Estudiantes – CSIC

Claramente las teorías de Darwin entraban dentro de aquella ciencia que se consideraba contraria a la doctrina católica por poner en jaque sus principios creacionistas y fomentar una visión materialista de la propia identidad del ser humano. Además, estaba vinculado a posiciones ateístas. El darwinismo era totalmente censurado bajo el franquismo.

A España las ideas darwinistas llegan con retraso debido a la peculiaridad política y científica de los borbones y la subsiguiente inestabilidad de pronunciamientos y cambios de gobierno. La primera edición en español de El origen… se encuentra en 1877 y no exenta de polémica durante las siguientes décadas entre el estamento académico, eclesiástico y conservador.

Es la edición de Antonio de Zulueta (director del Laboratorio de Biología del Museo Nacional de Ciencias Naturales) como traductor de obras como El origen… en 1921 la que publica la Editorial Bergua. Cabe destacar que Antonio de Zulueta pudo tener contacto mediante estancias en el extranjero con las concepciones más avanzadas sobre la evolución y realizar una obra de calidad. Así mismo desde la política educativa la evolución se encontraba ya dentro de los currículos académicos. Con la contienda y el franquismo Zulueta, que decidió permanecer en España, fue relegado por su posición científica al ostracismo profesional.

La edición que pasó 25 años hasta ser publicada.

Como dijimos, cuando la sede de la Editorial Bergua fue tomada por el bando nacional una parte de sus fondos se salvó extrañamente de las llamas. Sin saber qué ocurrió entre medias, salvo suponer un apilamiento de libros en un almacén, los ejemplares supervivientes de El origen… llegaron a la década de los 50. La antigua Editorial Bergua, renombrada como Ediciones Ibéricas y mediante una petición de José Bergua, solicita a los censores del régimen solicita un permiso para poner en venta y circulación los ejemplares de El origen… con un resultado negativo. José Bergua retoma el intento de publicar la obra de Darwin alegando que por “su carácter exclusivamente científico y compatibilidad con el dogma católico merece ser consultada y estudiada“.

Pegatina de Ediciones Ibéricas
Pegatina de Ediciones Ibéricas

Finalmente y tras la insistencia, en los años 50 bajo el sello de Ediciones Ibéricas se ponen en circulación los ejemplares impresos en 1936. No en vano este movimiento se enmarca dentro del cambio social interno y la tímida apertura externa del franquismo después de la derrota nazi.

La nueva editorial se indica cubriendo con una banda de papel pegado la información y logotipo de la antigua editorial. La edición en tapa blanda sigue indicando su valor de 10 pesetas. En tapa dura se usó una sobrecubierta. No fue hasta 1963 que se hace una nueva edición ya con número de registro y fecha cuya portada indica que cuesta 40 pesetas.

Bibliografía

[1] El bibliocausto en la España de Franco (1936-1939)
[2] El bibliocausto del 30 de abril en Madrid
[3] Biografía de Juan Bautista Bergua
[4] Blanco, Alberto. (2016). Los expedientes de censura de las obras de Darwin y sobre Darwin en el franquismo
[5] Blázquez, Francisco. (2007). Breve historia del darwinismo en España

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Reglas de cálculo: cuando el mundo era analógico (I) https://exosfera.net/reglas-de-calculo-i/ https://exosfera.net/reglas-de-calculo-i/#respond Wed, 06 Mar 2019 20:24:01 +0000 http://exosfera.net/?p=586 Antes de la aparición de las calculadoras electrónicas, las calculadoras mecánicas o mecánico-eléctricas eran dispositivos pesados grades y caros que se usaban en ámbitos profesionales. …

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Antes de la aparición de las calculadoras electrónicas, las calculadoras mecánicas o mecánico-eléctricas eran dispositivos pesados grades y caros que se usaban en ámbitos profesionales. Las reglas de cálculo eran el equivalente actual de las calculadoras de bolsillo. Hoy en día estamos acostumbrados a realizar exámenes, ejercicios y todo tipo de cálculos muy complejos en cuestión de segundos con una calculadora electrónica. Pero hace más de medio siglo no sólo era vital saber cómo resolver problemas, si no también saber calcularlos y era habitual incluso examinar sobre el uso de reglas de cálculo.


Introducción

Las reglas de cálculo son instrumentos analógicos que establecen de forma mecánica una equivalencia entre escalas que permite realizar multiplicaciones, divisiones, exponenciales, logaritmos, cuadrados, cubos, evaluar funciones trigonométricas… Las reglas de cálculo incluso se creaban con escalas dedicadas a las aplicaciones de un campo científico en concreto.

Fotograma de la película "El viento se levanta" de Studio Ghibli sobre la vida de Jiro Horikoshi ingeniero aeronáutico responsable del diseño del caza japonés Zero. En la ausencia de calculadoras electrónicas recurre a una regla de cálculo para realizar sus diseños. © Studio Ghibli - Fair Use
Fotograma de la película “El viento se levanta” de Studio Ghibli sobre la vida de Jiro Horikoshi ingeniero aeronáutico responsable del diseño del caza japonés Zero. En la ausencia de calculadoras electrónicas recurre a una regla de cálculo para realizar sus diseños. © Studio Ghibli – Fair Use

La longitud de la regla nos da la precisión de los números. Es habitual que se fabricaran en dos medidas estándar:

  • 10 pulgadas (unos 25 cm), permitiendo introducir escalas con división de hasta partes de una centésima, dando precisión de tres cifras significativas.
  • 20 pulgadas (unos 50 cm) para tener alta precisión con más subdivisiones.

El origen de las reglas de cálculo se puede remontar hasta los astrolabios. En alguno de ellos se encontraban cuadrantes que usan la alidada (la mirilla del astrolabio) como regla de posición para calcular valores de funciones trigonométricas útiles en el cálculo de efemérides y posiciones astronómicas.

En 1614 John Napier describe el concepto de logaritmo lo que permitirá que se puedan construir reglas de cálculo sobre la base de escalas logarítmicas permitiendo que sea muy sencillo hacer operaciones complejas. Durante los siguientes siglos y a medida que se desarrollaron más matemáticas las reglas de cálculo mejoraron y añadieron escalas y funciones.

Se puede decir que la revolución industrial se pudo dar a nivel científico y técnico gracias a la capacidad de cálculo, ya que las aplicaciones y la necesidad de cálculos eran cada vez más complejos y precisos. Con la aparición de industrias y la ingeniería moderna se crearon estándares para su fabricación.

Con la aparición de la electrónica, que no requiere apenas aprendizaje para utilizar una calculadora, y una rapidez imbatible, el uso de las reglas de cálculo ha quedado relegado a curiosidades matemáticas y nostálgicos. ¡Siguen siendo un instrumento muy útil para enseñar matemáticas!

Ejemplo moderno de un cuadrante como los que se encontraban en los astrolabios. Usando la alidada del astrolabio se puede situar en un valor del ángulo en la parte externa y las curvas del interior intersecan con la alidada y este punto es el valor de las funciones trigonométricas.
© de astrolabeproject.com
Ejemplo moderno de un cuadrante como los que se encontraban en los astrolabios. Usando la alidada del astrolabio se puede situar en un valor del ángulo en la parte externa y las curvas del interior intersecan con la alidada y este punto es el valor de las funciones trigonométricas.
© de astrolabeproject.com

Cómo son las reglas de cálculo

Las reglas de cálculo se componen de una serie de escalas dispuestas en varias reglas que pueden ser móviles (en paralelo) o estar unidas. Sobre estas reglas hay un mecanismo —usualmente deslizante— que tiene una marca o hilo que nos sirve para leer la posición sobre una escala o en los puntos que se encuentran alineados en las demás. Hay diseños más extravagantes como discos deslizantes concéntricos o cilindros. Las escalas acabaron estandarizadas y el más usual es el sistema Rietz propuesto por Max Rietz en 1902 y que denomina con letras una serie de escalas

  • A: escala de cuadrados nos da los números de hacer x^2 con los de la escala principal y que es fija (normalmente en la parte inferior de la regla superior)
  • B: escala de cuadrados, pero en la parte superior de la móvil central (queda debajo de la A)
  • C y CI: escala básica y escala básica invertida x\text{ y }1/x para calcular cuando se toma la función inversa. Estas van en la parte inferior de la parte móvil. La escala CI viene anotada como si fuera la parte decimal, es decir, delante de sus valores hay que colocar un 0 y punto decimal.
  • D: escala básica situada en la parte fija inferior, en su parte superior (para coincidir con la C encima)
  • K: escala de cubos dada por x^3
  • S: escala con los valores de la función \text{sen}(x)
  • ST: escala con los valores de la función \text{sen}(x) y \text{tan}(x) para ángulos pequeños
  • T: escala con los valores de la función \text{tan}(x)
  • L: escala dada por los logaritmos decimales \text{log}_{10}(x)
  • Ln: escala dada por los logaritmos decimales \text{ln}(x)
  • LLn: escala dada por un doble logaritmo lo que permite fijar una base y un exponente para calcular cualquier n^x
Parte izquierda de una regla de cálculo British Thornton AD 150. A la derecha está el hilo deslizable. A la izquierda tenemos las distintas escalas en su letra identificativa del sistema Rietz.
Parte izquierda de una regla de cálculo British Thornton AD 150. A la derecha está el hilo deslizable. A la izquierda tenemos las distintas escalas en su letra identificativa del sistema Rietz.
En la parte derecha de la regla de cálculo tenemos la traducción matemática de cada una de las escalas.
En la parte derecha de la regla de cálculo tenemos la traducción matemática de cada una de las escalas.

Nótese como el hilo está en x=3 y se corresponde con la lectura 9 en las escalas x^2 (A o B), 27 en la x^3 (K) (está indicada como 2.7 hay un factor x10 a añadir que ya se comentará) y los valores correspondientes de las funciones exponenciales y trigonométricas. En la escala inversa (CI) se encuentra en la posición 1/3 aproximadamente (0.33)

¿Por qué exponenciales y logaritmos?

Las escalas fijas lo que hacen es asignar a la variable x representada en la escala un valor f(x) con el uso del hilo (en paralelo). Las marcas en estas escalas están creadas de tal forma que hacen corresponder físicamente cada escala (y que puedan colocarse en paralelo).

Por ejemplo para x=7 en la escala C, la escala B corresponde a 49 y la escala K el valor 343 (dada la precisión de la regla cae entre la marca de 340 y 350). Nótese que sólo aparece 100 y para ahorrar espacio a partir de 100 esa escala usa simplemente la cifra de las centenas.

Parte móvil de la regla de cálculo con el hilo en la escala C con X=7 (inferior), B con el cuadrado en 47 (superior) y la escala K con el cubo entre las marcas de 340 y 350. La escala con números rojos es la escala de la inversa 1/X y sus números van precedidos de un 0., en este caso corresponde a 1/7 entre 0.142 y 0.143 (se redondea a 0.14286 el valor real).
Parte móvil de la regla de cálculo con el hilo en la escala C con X=7 (inferior), B con el cuadrado en 47 (superior) y la escala K con el cubo entre las marcas de 340 y 350. La escala con números rojos es la escala de la inversa 1/X y sus números van precedidos de un 0., en este caso corresponde a 1/7 entre 0.142 y 0.143 (se redondea a 0.14286 el valor real).

Con las escalas móviles se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Por eso las escalas C y A (x y cuadrados) se encuentran presente tanto en la móvil como en la parte fija, para poder operar con valores de 1 a 100 o que se encuentren un orden de magnitud de 100 entre ellos. Es necesario el uso de dos escalas de forma simultánea para operaciones que requieren dos números a operar entre sí.

Suma y resta

La suma y la resta son operaciones sencillas que pueden realizarse con una regla cualquiera. La fundamentación lógica es trivial: sumamos números sumando segmentos/longitud. En las reglas de cálculo el objetivo es poder operar con grandes números o números muy diferentes entre sí, ya que si simplemente sumáramos longitudes, necesitamos reglas muy largas. Esto se puede evitar en el resto de operaciones a través de las escalas logarítmicas.

Suma

Para sumar colocamos el hilo en el valor de uno de los sumandos en una de las escalas y sobre el hilo se coloca el cero de la escala superior. Sobre la escala superior se toma el segundo sumando y se mueve el hilo a este valor, de tal forma que en la primera escala tenemos el valor de la suma.

Suma de los valores 2 y 3 medante superposición re reglas.
Suma mediante reglas

En la escala inferior (fija) buscamos el valor 2, sobre este valor movemos la escala superior (móvil) y colocamos el cero. Sobre la escala superior ahora contamos 3 y movemos el hilo a este valor. En la escala fija inferior sobre el valor 3 tenemos el valor 5 indicando la suma de los segmentos 0 a 2 de la inferior y 0 a 3 de la superior.

Resta

Para realizar la resta colocamos el número más grande de la resta en la escala fija y colocamos ahí el hilo. A continuación colocamos en la escala móvil el valor más pequeño coincidiendo sobre el hilo. Nos movemos hacia el cero en la escala superior —esto es restar la longitud— que coincidirá en una marca en la escala inferior, que es el resultado de la resta.

Resta 5-4, mediante la combinación de segmentos en direcciones en opuestas.
Resta mediante reglas

Supongamos que queremos hacer 5-4 para ello vamos sobre la escala inferior al valor 5 y le hacemos coincidir encima el valor 4. Sobre esta escala móvil vamos hasta el cero y leemos el resultado de la resta en la escala inferior.

Breve historia de los logaritmos

Como he mencionado, este proceso es complicado cuando tenemos números muy distintos entre sí. Podría usar la misma escala para sumar números en el mismo orden de magnitud… pero es muy difícil poder hacer una suma como 1000 + 1. O se asume que los números de una de las escalas son en un factor x1000, haciendo imposible tomar en la regla un valor de una diezmilésima. O bien tomamos trabajar en un orden de magnitud x1 necesitando una regla que llegara al menos a 1000 unidades (de longitud exagerada).

Si para sumar y restar necesitamos reglas desproporcionadamente largas en el caso de la multiplicación o división que podrían realizarse como repeticiones de sumas, necesitaríamos reglas kilométricas. En torno a 1600 John Napier y los matemáticos de la época tenían problemas a la hora de calcular funciones trigonométricas. Estas funciones son fundamentales para asuntos como la navegación o la astronomía de posición y la topología. Dado que habitualmente se efectuaban productos de funciones trigonométricas, se preguntó si no habría una forma de poder descomponer ese producto en una suma de factores, dada la mayor sencillez de hacer sumas.

El logaritmo natural

Napier precisamente llama a este objeto aritmético logaritmo de logos y arithmos significando “razón aritmética” al expresar la razón entre dos números y justificaba su uso basándose en la aparición de esta operación aritmética de forma natural. En el estudio de la cinemática de cuerpos se llegaba a una ecuación del tipo \int_1^x \frac{dx}{x} cuya solución es precisamente una función logaritmo cuyo valor inicial es ln(1)=0. Esta función logaritmo tiene la propiedad de tener un valor e que satisface \int_1^e \frac{dx}{x}=1 y que es conocido posteriormente como el número de Euler . Es un número irracional fundamental en las matemáticas —como π— y cuyo valor es e=2.71828182....

Ésta era la forma natural de los logaritmos, pero al realizar la integral siempre se suma una constante C de tal forma que podemos fijar ese valor de \int_1^N \frac{dx}{x}=1 en e como puede ser en 10 o cualquier otro número natural. La utilidad de la base 10 es que nuestro sistema de numeración trabaja en múltiplos de 10 por lo que es muy útil para hacer estos cálculos.

Imagen de la película Apolo 13 en la que desde el control en Tierra replican cálculos con una regla de cálculo hechos por emergencia a mano en órbita, © Universal Pictures - Fair Use.
Imagen de la película Apolo 13 en la que desde el control en Tierra replican cálculos con una regla de cálculo hechos por emergencia a mano en órbita, © Universal Pictures – Fair Use.

Tablas de logaritmos

En 1631 siguiendo el trabajo de Napier el matemático Henry Briggs publica el primer libro que contiene una tabla de valores de logaritmos en base 10.

“Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los problemas de aritmética y geometría… Con ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad… En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía.”

Logartihmall Arithmetike , Henry Briggs – Tomado de Historia de los logaritmos

A los libros y tablas de valores de logaritmos le siguen tablas de antilogaritmos ya que si pasamos a trabajar con valores de logaritmos necesitamos realizar la función inversa para obtener el resultado que buscamos. A los antilogaritmos posteriormente los conocemos como funciones exponenciales, siendo la más conocida la que tiene como base natural el número e: e^x. De esta forma la relación entre logaritmos y exponenciales es la siguiente \text{log}_n(x)=a \leftrightarrow n^a=x.

De multiplicaciones a sumas en las reglas de cálculo

Tanto los logaritmos como las exponenciales tienen una propiedad muy útil: transforman productos y divisiones en sumas y restas. De ahí el interés en crear tablas de logaritmos para realizar estas operaciones como suma de valores de esas tablas y con un valor final a ir a las tablas de antilogaritmos para hallar nuestra solución.

Fundamento matemático

Esta propiedad se observa fácilmente de la definición a través de una expresión integral

Si \displaystyle \text{ln}(a)=\int_1^a \frac{dx}{x} entonces \displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\int_1^{a\cdot b}\frac{dx}{x}=\int_1^a \frac{dx}{x}+\int_a^{a\cdot b} \frac{dx}{x}

Si en la segunda integral hacemos un cambio de variable dividiendo de a, x'=x/a entonces

\displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\int_1^{a\cdot b}\frac{dx}{x}=\int_1^a \frac{dx}{x}+\int_1^b \frac{dx'}{x'}

Dado que el segundo término no ha variado respecto al cambio de variable, tanto el primero como segundo siguen siendo la definición de logaritmo y finalmente \displaystyle \text{ln}(a\cdot b)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b).

De la misma forma al realizar esta demostración para el caso \text{ln}(a/b) el proceso idéntico nos obliga a cambiar el límite inferior por el superior en la segunda integral, ya que a/b es más pequeño. Por tanto, cambiando de signo este sumando para finalmente hallar
\displaystyle \text{ln}(a/b)=\text{ln}(a)-\text{ln}(b). Q.E.D

Escalas logarítmicas

Por lo tanto, tomando logaritmos se puede descomponer multiplicaciones en sumas y, si sé hacer sumas con reglas, podré realizar el proceso inverso para hallar el resultado. Finalmente, la solución más sencilla fue que las reglas en lugar de tener una escala lineal habitual —marcas equidistantes donde la distancia entre ellas es la unidad— representaran el valor del logaritmo de esos números. Ahora no tenemos que la distancia entre dos marcas representa el valor entre unidades sucesivas, si no una diferencia de un factor x10. Esto se conoce como escala logarítmica.

Comparación entre una escala lineal (arriba) y una logarítmica (abajo). Entre las dos escalas se puede calcular directamente logaritmos y exponenciales.
Comparación entre una escala lineal (arriba) y una logarítmica (abajo).

Mientras la escala lineal va de 0 a 2 la logarítmica va de 10^0 (1) a 10^2 (100). Tenemos muchos más números en la regla y ahora al sumar segmentos en escala logarítmica estaremos multiplicando, ya que \text{log}(A\cdot B)=\text{log}(A)+\text{log}(B)

Esta propiedad de los logaritmos también se puede expresar mediante exponenciales, ya que e^{x\cdot y}=e^x+e^y y e^{x-y}=e^x/e^y. Por lo tanto, al operar en escala logarítmica estamos haciendo la operación de la suma, pero de los exponentes y leyendo en la escala logarítmica el valor de la exponencial.

Esta es la primera parte de la serie de entradas sobre reglas de cálculo y su forma de uso. Continúa en la siguiente entrada.

Reglas de cálculo (II)→

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La entrada Experimento mental: el péndulo infinito. se publicó primero en Exosfera.

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Uno de los más sistemas más sencillos y que antes se estudian cuando se estudia la mecánica (a nivel newtoniano y posteriormente es el ejemplo clásico para introducir la mecánica lagrangiana) es el péndulo simple. Una masa m colgada de un hilo de masa despreciable unido a un punto de sujeción sin rozamiento se separa de la vertical un ángulo pequeño comenzando a oscilar. ¿Qué ocurre si el péndulo fuera muy grande o incluso infinito?

[Nivel aproximado: primer curso universitario]


El péndulo simple clásico

En un péndulo la fuerza que origina el movimiento es la fuerza de la gravedad para un cuerpo de masa m la fuerza es F=m\cdot g donde g es el valor de la aceleración de la gravedad (9.8\text{ m/s}^2 en la superficie de la Tierra). Cuando el péndulo está desplazado un ángulo \theta la aceleración tangencial es m a_{T}=m g \text{ sen}(\theta).

Esquema de un péndulo simple

Dado que el péndulo realiza un movimiento circular para estos ángulos pequeños se cumple la aceleración se expresa de forma angular como que a_{\theta}=a l (l es la longitud del péndulo) y la definición de aceleración es a_{\theta}=\displaystyle \frac{dv_{\theta}}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}. Tomando en cuenta la expresión de la aceleración, su definición y la relación entre la aceleración y aceleración tangencial

\displaystyle ma_{T}=mg\text{ sen}(\theta)

\displaystyle m(a_\theta l)=mg\text{ sen}(\theta)

\displaystyle a_\theta=\frac{g}{l}\text{ sen}(\theta)

\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{g}{l}\text{ sen}(\theta)

Si el ángulo es pequeño entonces \text{ sen}(\theta)=\theta y

\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{g}{l}\theta

Esta es una ecuación diferencial muy sencilla (ecuación de Helmholtz) tipo \displaystyle \frac{d^2}{dt}x+\omega^2x=0 cuya solución unidimensional es una función seno. Por lo que para el péndulo \displaystyle \theta=\theta_0\text{sen}(\omega t+\phi) donde \theta_0 es el ángulo incial al que colocamos el péndulo y \omega proviene del factor que tenemos en la ecuación \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} y corresponde a la frecuencia angular del péndulo. Esta se relaciona con la frecuencia temporal ya que \displaystyle P=\frac{2\pi}{\omega} y por tanto el periodo de un péndulo es

\displaystyle P=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Imagen del Panteón de París donde se encuentra un Péndulo de Focault, que oscila mientras la Tierra rota, indicando las horas en una banda o mostrando la rotación terrestre.
Péndulo de Focault en el Panteón de París. El péndulo mide decenas de metros y es capaz de oscilar durante mucho tiempo pudiendo demostrar la rotación terrestre al permanecer su plano de oscilación constante mientras la tierra rota.

El péndulo de tamaño grande

El desarrollo clásico del péndulo implica que la gravedad es la misma (tanto en módulo como dirección), ya que la variación de la misma frente al desplazamiento del péndulo es prácticamente nula. Es decir, que la longitud de nuestro péndulo es muy pequeña comparado con la variación de la gravedad que depende del radio de la Tierra (u otro cuerpo origen del campo gravitatorio) con radio R: l\lll R.

¿Qué ocurriría si tuviéramos un péndulo cuyo tamaño fuera del mismo orden de magnitud que el tamaño de la Tierra?

Supongamos que tenemos un péndulo de tamaño planetario. En este caso el vector de la fuerza de la gravedad g no siempre estará dirigido “hacia abajo”, manteniendo el mismo ángulo de desviación que tiene el péndulo. En este caso que se encuentra en función al ángulo \phi hacia el centro de masas, ya que g sigue la dirección hacia el centro de masas, la vertical y esta dirección viene dada por el ángulo \phi de desviación respecto a la vertical de la posición en reposo del péndulo.

Esquema de fuerzas y diagrama del problema del péndulo grande.
Esquema de un péndulo MUY grande

Si se calcula el momento angular del péndulo este será \vec{L}=\vec{l}\times\vec{F} donde \vec{F}=m\vec{g}. Tomando el módulo de estos vectores se tiene que |L|=|l|\cdot|F|\cdot\text{sen}(\theta+\phi)=mgl\cdot\text{sen}(\theta+\phi). Por otro lado, en general el momento de inercia de una única masa m puntual respecto a un eje es I=ml^2 (en general I=\sum{m_ir_i^2} y r=l,i=1). La versión equivalente de la segunda ley de newton en rotación, relaciona el par de fuerzas generado con el momento de inercia \tau=I\cdot a_{\theta}=ml^2a_{\theta}.

Tomando e igualando ambas expresiones equivalentes para el momento de inercia/momento angular que representan lo mismo, se tiene

\displaystyle mgl\cdot\text{sen}(\theta+\phi) = ml^2a_{\theta}

De donde se puede despejar

\displaystyle a_\theta = \frac{g}{l}\cdot\text{sen}(\theta+\phi) \equiv a_\theta = \frac{g}{l}(\theta+\phi)

si los ángulos son pequeños, ya que \text{sen}(x)=x.

Triángulos formados por el péndulo infinito para realizar aproximación de ángulos pequeños.
Esquema exagerado de los triángulos dibujados para realizar aproximación de ángulos pequeños.

Podemos reescribir los ángulos en función de los radios y longitudes. Ambos triángulos comparten un cateto (x) ue corresponde a la desviación lateral de la vertical en reposo del péndulo. En la aproximación de ángulos pequeños tenemos \text{tan}(x)=x y como \text{tan}(\theta)=\frac{x}{l}\equiv \theta y \text{tan}(\phi)=\frac{x}{R}\equiv\phi.

Reescribiendo (\theta+\phi) como \theta\left(1+\frac{\phi}{\theta}\right) y sustituyendo dentro del paréntesis se llega a que es equivalente a \theta\left(1+\frac{x/R}{x/l}\right)=\theta\left(1+\frac{l}{R}\right) por lo que finalmente

\displaystyle a_\theta=\frac{g}{l}\theta\left(1+\frac{l}{R}\right)

Como la aceleración angular es a_\theta=\omega^2 \theta igualando

\displaystyle \frac{g}{l}\left(1+\frac{l}{R}\right)=\omega^2

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g}{l}\left(1+\frac{l}{R}\right)}=\sqrt{g \left(\frac{1}{l}+\frac{1}{R}\right)}

Como el periodo es T=\frac{2\pi}{\omega}

\displaystyle T=\frac{2\pi}{\sqrt{g(1/l+1/R)}}

Recuperando el péndulo simple

Para el caso general que todos conocemos se cumple que l\lll R entonces \frac{1}{l}\ggg \frac{1}{R} y \frac{1}{l}+\frac{1}{R}=\frac{1}{l} siendo entonces el periodo es T=\frac{2\pi}{\sqrt{g/l}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} idénticamente a como ya se había hallado para el péndulo simple.

El péndulo “infinito”

Supongamos que l es tan grande que l\ggg R entonces \frac{1}{l}+\frac{1}{R}=\frac{1}{R} por lo que el periodo entonces es T=\frac{2\pi}{\sqrt{g/R}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.

Dado que g depende de la masa y radio del que genera el campo gravitatorio, tenemos que un péndulo infinito tiene un periodo finito y determinado exclusivamente por el objeto que crea atracción gravitatoria sobre él. En el caso de la Tierra tomando el radio medio y la gravedad en la superficie se tiene que

\displaystyle T_{infinito}=5067\text{ s}=84.45\text{ m}=1\text{ h }24\text{ m }27.17\text{ s}

Casualmente, este mismo tiempo es el que resultaría de calcular el periodo de una órbita si algo pudiera orbitar a una distancia exacta del radio terrestre, por lo que en cierta forma, nuestro péndulo infinito es equivalente a orbitar la superficie terrestre.

En la misma línea, este tiempo es equivalente al tiempo que tarda en atravesar la Tierra un objeto que cayera por un túnel que atraviesa la Tierra y volver, es decir, un movimiento oscilatorio armónico equivalente a un muelle de tamaño planetario.

La convergencia del péndulo infinito con el caso de la órbita de radio igual al de la superficie o de la oscilación en un pozo de tamaño planetario es consecuencia de la generalización de las fuerzas gravitatorias a sistemas de tamaño comparable o mayor al del cuerpo que la origina.

Más información / Bibliografía

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Fourier, Photoshop, CSI y un montón de integrales. https://exosfera.net/fourier-photoshop/ https://exosfera.net/fourier-photoshop/#respond Fri, 18 Jan 2019 11:00:05 +0000 http://rafaelcampillos.es/?p=462 ¿Qué tienen en común Grissom de la serie CSI y Fourier, un matemático francés que vivió en torno a 1800? En principio nada salvo porque …

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¿Qué tienen en común Grissom de la serie CSI y Fourier, un matemático francés que vivió en torno a 1800? En principio nada salvo porque Fourier abrió un camino en las matemáticas que aunque no conozcas, funciona en tu oído, en Photoshop, en circuitos eléctricos, en la música…


Biografía de Fourier

Retrato de Fourier
Retrato de Fourier

Fourier, Jean-Baptiste Joseph, Fourier para los amigos. Series y transformada de Fourier para pesadillas de estudiantes universitarios. Fourier vivió de joven en la convulsa Francia de la Revolución, donde estuvo hasta cerca de ser guillotinado si no llega a ser por Robespierre.

Su padre, sastre de profesión, murió teniendo Fourier apenas 8 años. Gracias al Obispo de Auxerre, su ciudad natal, pudo entrar en la escuela Benedictina. Tras salir de esta escuela participó en la revolución y consiguió una cátedra de matemático en el ejército. Más tarde llegaría a la Escuela Politécnica, donde estaban Lagrange y Laplace de profesores (nada más y nada menos).

Pero Fourier era un culo inquieto y decidió irse a Egipto con Napoleón, consiguiendo entre otros cargos, ser secretario del Instituto de Egipto. Aun así no todo dura para siempre y cuando los ingleses echaron a Napoleón —para poder saquear ellos un poquito Egipto también— se volvió a Francia. Napoleón le dió otro cargo, en Grenoble, y su puesto en la Escuela Politécnica fue cubierto por otro desconocido. Seguramente este desconocido no suene nada de nada a la mayoría de estudiantes: Poisson. Sí, el mismo de la ecuación de Poisson o la distribución de Poisson.

A partir de aquí Laplace viajaría entre Francia e Inglaterra y fue admitido en sociedades científicas, fue secretario de la Academia de Ciencias Francesa.  Por estos tiempos (1822) Fourier consiguió resolver y formular una de esos problemas que se les atascaba a los físicos de aquel momento y que solían proponer en forma de concurso:  la transmisión del calor. Con la Ecuación del Calor modeló los flujos de temperatura (algo así como la ecuación de los fluidos). En el libro “Théorie analytique de la chaleur” hizo un poco como Newton, y viendo que las matemáticas no daban de sí, desarrolló las matemáticas necesarias para poder resolver el problema

Como curiosidad, también desarrolló allí el análisis dimensional. El análisis dimensional es eso tan importante que te cuentan en la ESO de usar las mismas unidades. Así puedes comprobar que se cancelan o añaden y que el resultado corresponde a lo esperado. A veces pones mal las unidades y explota un cohete y entonces eso que te parecía tan aburrido pasa a ser fundamental.

Las series de Fourier

Fourier explicó que para una función periódica, continua e integrable existe una serie —una suma de términos— formada por la función seno, coseno y sus múltiplos (sin(2x),sin(3x)…). Es decir, funciones seno/coseno que tienen distintas frecuencias o representan distintos periodos. Cuanto más términos añadamos a la serie, más se irá aproximando a la función original. Cada seno/coseno tiene delante un coeficiente que nos indica cuánto contribuye a crear la forma de esa función.

Forma general de las series de Fourier
Pesos o constantes de los distintos términos de las series de Fourier. A mayor peso más contribuye a la función total una determinada frecuencia.

Aparentemente, es una tontería, aproximar una función. Pero la verdad que este desarrollo teórico tanto en forma de serie —como en forma integral con la Transformada de Fourier— se ha convertido en una de las aplicaciones más importantes de las matemáticas. Con las series se pueden estudiar cualquier problema con una condición periódica, resolver ecuaciones, calcular la interacción de partículas a nivel cuántico…

Música y Fourier

Nuestro oído interpreta lo que llamamos sonido a través de las señales neuronales que recogen la intensidad sonora en cada frecuencia. El oído interno, a lo largo del caracol, tiene dispuestas una serie de neuronas sensibles a la vibración. La propia forma del caracol, estrechándose, va eliminando frecuencias. De esta manera la fisiología del oído realiza una descomposición del sonido en función de sus frecuencias, como una serie de Fourier.

Las neuronas sensibles a ciertas frecuencias son equivalentes a los diferentes componentes de la serie y cuánto contribuyen (intensidad de la señal neuronal). Nuestro cerebro es capaz de recibir el sonido como una serie de contribuciones y sumarlas.

grey and black transistor radio
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Es importantísimo en la música el estudio de la formación del sonido en instrumentos, ya que cuando se toca una nota no se genera una nota en una única frecuencia. Esto pasapor ejemplo en un altavoz piezoeléctrico, como los que llevaban los ordenadores hace unas décadas y que daban un caracteristico sonido de pitidos poco naturales. No nos suenan naturales, puesto que son sonidos de una única frecuencia. Los instrumentos y otras formas de generar sonido en realidad generan una frecuencia fundamental y muchas ondas de múltiplos de la misma llamados armónicos. En términos de una serie de Fourier, el término con mayor coeficiente es el fundamental y el resto, armónicos.

Imágenes y Fourier

Otra de las herramientas es la Transformada de Fourier. Digamos así a lo bruto que lo que hace es coger una función f(x) y nos descompone la función en una función nueva. Esta función transformada no indica el valor de lo que indicara la función original, nos indica cuando vale o importa correspondiente de la serie de Fourier de esa misma frecuencia.

Vale muy bonito, pero no entiendo nada. Ejemplo, mete en la Transformada de Fourier el sonido de un diapasón y te dará unos términos de las series cuya frecuencia se corresponde a la frecuencia en la que suena y sus armónicos (múltiplos). La transformada será una función definida a puntos siendo el más alto o importante el correspondiente a la frecuencia del diapasón y menores un punto en la frecuencia de cada armónico.

El potencial de la transformada es tan amplio que se encuentra en multitud de procesos de tratamiento de información incluso en el tratamiento de imágenes ya que es capaz de darnos información de todo patrón periódico de cualquier dato. Los elementos periódicos se describen aproximadamente mediante series de Fourier, por lo que aparecen.

Expresión de la Transformada de Fourier

Como me picó la curiosidad el tema de la transformada de Fourier y el filtrado de imágenes me he dedicado a hacer la transformada de Fourier con un plugin para Photoshop creado por A.V.Chirokov (web). Este plugin implementa un algoritmo llamado transformada rápida de Fourier que realiza el cálculo de arriba mediante métodos numéricos de computación.

Este plugin parte de una imagen de 8 bits (2 para cada color y 2 para transparencia) en RGB (Rojo-Verde-Azul por sus siglas en inglés). Al ejecutarlo nos da de salida en RGB dos patrones, en el canal R la distribución de frecuencias, en ejes x e y. En esta distribución bidimensional los puntos con mayor iluminación (blancos) indican que existe información con cierta frecuencia. Tendrá frecuencia mayor cuanto más esté alejada del centro de la imagen (centro, con valor 0) y en la dirección en la que se encuentra el punto. La capa G nos da el patrón de fases y el canal B no se usa.

Fourier en Photoshop

Primero creé un patrón de ruido aleatorio con Photoshop: Filtro<Añadir ruido: 400%, Gaussiano, Monocromático. Si realmente es aleatorio, no tendrá ningún patrón reconocible y la transformada de Fourier será un punto, como puede comprobarse.

Ruido aleatorio (izq.) y su transformada de Fourier (der.). No hay nada periódico.

Ahora vamos a coger ese ruido y a aplicarle el filtro de mediana. Este filtro toma un píxel y le asigna el valor de la mediana de los píxeles adyacentes. En este caso es esperable que la imagen tenga muchos píxeles en ese valor de la mediana, ya que son o blancos o negros. Veamos el resultado del filtro de mediana con varios valores del radio (de la cantidad de píxeles adyacentes que toma).

Transformada de Fourier (der.) de ruido aleatorio suavizado con un filtro de mediana (izq.). La transformada de Fourier se asemeja a un patrón de difracción. De hecho se puede relacionar el tamaño del patrón con el radio del filtro.

Probamos ahora con el filtro de paso alto. Este filtro elimina los detalles de la imagen que no son generales, como bordes y/o patrones, luego es esperable que tanga algo que ver con la FFT.

Transformada de Fourier (izq.) de ruido aleatorio tratado con un filtro de paso alto (der.). El oscurecimiento en el centro nos indica que el filtro elimina la información que no tiene cierta frecuencia.

La utilidad de estos algoritmos permite eliminar o realzar patrones existentes pero no apreciables, tanto en imágenes, sonido etc.

Más información

Aquí hay un interesante ejemplo de como con la FFT se puede eliminar el resto de la textura de papel fotográfico antiguo en una foto escaneada. En la web del desarrollador del plugin encontramos también un ejemplo con una huella escaneada. Recomendable web sobre “Forensic Science Resources” con otros plugins tan interesantes como la deconvolución y otros temas que se aplican a al estudio forense de imágenes. Que se lo pregunten a los guionistas de CSI…

Crédito imágenes CC: 1 2

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